gdz.top
Номер 8, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения. Вопросы к главе III - номер 8, страница 133.
№7
№8 (с. 133)
Условие. №8 (с. 133)
8. Сформулировать теорему Безу.
Решение 1. №8 (с. 133)
Решение 4. №8 (с. 133)
Теорема Безу (или теорема о остатке) — одна из основных теорем алгебры многочленов. Она устанавливает связь между значением многочлена в точке и остатком от деления этого многочлена на линейный двучлен.
Формулировка теоремы: остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению этого многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.
Доказательство: При делении многочлена $P(x)$ на ненулевой многочлен $D(x) = x-a$ по теореме о делении с остатком существуют единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), такие что: $P(x) = (x-a) \cdot Q(x) + R(x)$
Степень многочлена-остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $D(x)$. Поскольку степень $D(x) = x-a$ равна 1, степень $R(x)$ должна быть меньше 1, то есть равна 0. Это означает, что $R(x)$ является константой, которую мы обозначим как $r$. Таким образом, равенство можно записать в виде тождества: $P(x) = (x-a) \cdot Q(x) + r$
Это равенство верно для любого значения $x$. Подставим в него $x = a$: $P(a) = (a-a) \cdot Q(a) + r$ $P(a) = 0 \cdot Q(a) + r$ $P(a) = r$
Следовательно, остаток $r$ действительно равен значению многочлена $P(x)$ в точке $a$, что и требовалось доказать.
Следствие из теоремы Безу: Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка.
Это следует из того, что по определению, $a$ — корень $P(x)$, если $P(a) = 0$. Согласно теореме Безу, $P(a)$ — это остаток от деления $P(x)$ на $(x - a)$. Значит, $P(a)=0$ равносильно тому, что остаток равен нулю.
Ответ: Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 133 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 133), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.