gdz.top
Номер 13, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения. Вопросы к главе III - номер 13, страница 133.
№12
№13 (с. 133)
Условие. №13 (с. 133)
13. Каковы элементарные симметрические многочлены от трёх переменных?
Решение 1. №13 (с. 133)
Решение 4. №13 (с. 133)
Элементарные симметрические многочлены — это многочлены, которые не изменяются при любой перестановке своих переменных. Для $n$ переменных существует ровно $n$ элементарных симметрических многочленов.
В задаче рассматривается случай трёх переменных. Обозначим их как $x_1, x_2, x_3$. Тогда элементарные симметрические многочлены, которые обычно обозначают греческой буквой сигма с индексом, равным степени многочлена ($\sigma_k$), определяются следующим образом:
Первый элементарный симметрический многочлен ($\sigma_1$) — это сумма всех переменных. Его степень равна 1.
$\sigma_1(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2 + x_3$
Второй элементарный симметрический многочлен ($\sigma_2$) — это сумма всех возможных попарных произведений различных переменных. Его степень равна 2.
$\sigma_2(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
Третий элементарный симметрический многочлен ($\sigma_3$) — это произведение всех трёх переменных. Его степень равна 3.
$\sigma_3(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2x_3$
Эти многочлены являются фундаментальными в теории симметрических многочленов. Согласно основной теореме о симметрических многочленах, любой симметрический многочлен от $x_1, x_2, x_3$ может быть однозначно представлен в виде многочлена от $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$.
Также эти многочлены известны из формул Виета для кубического уравнения, корнями которого являются $x_1, x_2, x_3$:
$(t - x_1)(t - x_2)(t - x_3) = t^3 - \sigma_1 t^2 + \sigma_2 t - \sigma_3 = 0$
Ответ: Элементарными симметрическими многочленами от трёх переменных $x_1, x_2, x_3$ являются:
$\sigma_1 = x_1 + x_2 + x_3$
$\sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
$\sigma_3 = x_1x_2x_3$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 13 расположенного на странице 133 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13 (с. 133), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.