Страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

7. Дать определение корня многочлена.

Рассмотрим многочлен $P(x)$ от одной переменной $x$ с коэффициентами из некоторого числового поля (например, поля действительных $\mathbb{R}$ или комплексных $\mathbb{C}$ чисел). Общий вид такого многочлена:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$

где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — числовые коэффициенты (причем $a_n \neq 0$), а $n$ — неотрицательное целое число, называемое степенью многочлена.

Корнем многочлена $P(x)$ называется такое число $c$, при подстановке которого вместо переменной $x$ значение многочлена обращается в ноль.

Иными словами, число $c$ является корнем многочлена $P(x)$, если выполняется равенство:

$P(c) = a_n c^n + a_{n-1} c^{n-1} + \dots + a_1 c + a_0 = 0$

Корни многочлена также часто называют нулями многочлена, поскольку они являются значениями аргумента, при которых функция $y=P(x)$ принимает нулевое значение.

Пример 1:
Для многочлена $P(x) = x^2 - 4$ корнями являются числа $2$ и $-2$.
Проверка:
$P(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$
$P(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

Пример 2:
Для многочлена $Q(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$ корнем является число $2$.
Проверка:
$Q(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 - 2 = 8 - 2 \cdot 4 + 0 = 8 - 8 = 0$

Понятие корня тесно связано с теоремой Безу (следствием из нее), которая утверждает, что число $c$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка. Это означает, что $P(x)$ можно представить в виде $P(x) = (x-c) \cdot Q(x)$, где $Q(x)$ — некоторый многочлен, степень которого на единицу меньше степени $P(x)$.

Ответ: Корень многочлена $P(x)$ — это число $c$, которое при подстановке в многочлен вместо переменной обращает его в нуль, то есть удовлетворяет уравнению $P(c) = 0$.

8. Сформулировать теорему Безу.

Теорема Безу (или теорема о остатке) — одна из основных теорем алгебры многочленов. Она устанавливает связь между значением многочлена в точке и остатком от деления этого многочлена на линейный двучлен.

Формулировка теоремы: остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению этого многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.

Доказательство: При делении многочлена $P(x)$ на ненулевой многочлен $D(x) = x-a$ по теореме о делении с остатком существуют единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), такие что: $P(x) = (x-a) \cdot Q(x) + R(x)$

Степень многочлена-остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $D(x)$. Поскольку степень $D(x) = x-a$ равна 1, степень $R(x)$ должна быть меньше 1, то есть равна 0. Это означает, что $R(x)$ является константой, которую мы обозначим как $r$. Таким образом, равенство можно записать в виде тождества: $P(x) = (x-a) \cdot Q(x) + r$

Это равенство верно для любого значения $x$. Подставим в него $x = a$: $P(a) = (a-a) \cdot Q(a) + r$ $P(a) = 0 \cdot Q(a) + r$ $P(a) = r$
Следовательно, остаток $r$ действительно равен значению многочлена $P(x)$ в точке $a$, что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы Безу: Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка.
Это следует из того, что по определению, $a$ — корень $P(x)$, если $P(a) = 0$. Согласно теореме Безу, $P(a)$ — это остаток от деления $P(x)$ на $(x - a)$. Значит, $P(a)=0$ равносильно тому, что остаток равен нулю.

Ответ: Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.

9. Сформулировать теорему о числе корней многочлена.

Теорема о числе корней многочлена — это фундаментальный результат в алгебре, который определяет максимальное количество корней, которое может иметь многочлен. Существует несколько формулировок этой теоремы, от простой до более точной, использующей комплексные числа.

В наиболее простой и общей форме теорема утверждает, что ненулевой многочлен степени $n$ имеет не более $n$ различных корней. Это утверждение справедливо для корней из любого числового поля, будь то поле рациональных, действительных или комплексных чисел. Например, квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (многочлен второй степени) не может иметь более двух различных решений.

Для более точной формулировки необходимо ввести понятия комплексных чисел и кратности корня. Основная теорема алгебры гласит, что любой многочлен степени $n \geq 1$ с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Как следствие из этого, формулируется более сильное утверждение о точном количестве корней: любой многочлен степени $n$, где $n \geq 1$, вида $P_n(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ с комплексными коэффициентами ($a_n \neq 0$) имеет в поле комплексных чисел ровно $n$ корней, если каждый корень считать с учётом его кратности.

Кратность корня $c$ — это число, показывающее, сколько раз множитель $(x-c)$ входит в разложение многочлена на множители. Например, в многочлене $P(x) = x^3 - 4x^2 + 4x = x(x-2)^2$, корень $x=0$ имеет кратность 1, а корень $x=2$ имеет кратность 2. Степень многочлена равна 3, и сумма кратностей корней также равна $1+2=3$. Таким образом, у многочлена ровно 3 корня с учётом их кратности.

Эта теорема означает, что любой многочлен $P_n(x)$ можно единственным образом (с точностью до перестановки множителей) представить в виде произведения: $P_n(x) = a_n (x-c_1)^{k_1} (x-c_2)^{k_2} \dots (x-c_m)^{k_m}$, где $c_1, \dots, c_m$ — различные корни, а $k_1 + \dots + k_m = n$ — сумма их кратностей.

Для многочленов с действительными коэффициентами, которые являются частным случаем многочленов с комплексными коэффициентами, действует то же правило. Однако их комплексные (недействительные) корни всегда появляются сопряженными парами. То есть, если $z = a+bi$ ($b \neq 0$) является корнем, то и сопряжённое ему число $\bar{z} = a-bi$ также является корнем той же кратности. Это означает, что многочлен степени $n$ с действительными коэффициентами может иметь меньше $n$ действительных корней, но общее число корней (действительных и комплексных) с учётом кратности всегда равно $n$.

Ответ: Теорема о числе корней многочлена гласит, что многочлен степени $n \geq 1$ имеет не более $n$ различных корней. Более точная формулировка, являющаяся следствием основной теоремы алгебры, утверждает, что любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, если учитывать их кратность.

10. Сформулировать теорему о целом корне уравнения $a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_n = 0$ с целочисленными коэффициентами.

Теорема о целом корне алгебраического уравнения с целыми коэффициентами является прямым следствием более общей теоремы о рациональных корнях.

Формулировка теоремы:

Если уравнение $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0$, все коэффициенты которого ($a_0, a_1, \dots, a_n$) являются целыми числами, имеет целый корень $x=k$, то этот корень обязательно является делителем свободного члена $a_n$.

Доказательство:

Пусть $k$ – это целый корень данного уравнения. Согласно определению корня, подстановка значения $x=k$ в уравнение обращает его в верное равенство:

$a_0k^n + a_1k^{n-1} + \dots + a_{n-1}k + a_n = 0$

Перенесем все члены, содержащие $k$, в правую часть уравнения, оставив свободный член $a_n$ слева:

$a_n = - (a_0k^n + a_1k^{n-1} + \dots + a_{n-1}k)$

В правой части равенства вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$a_n = -k \cdot (a_0k^{n-1} + a_1k^{n-2} + \dots + a_{n-1})$

По условию, все коэффициенты $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ являются целыми числами. Корень $k$ также является целым числом. Поскольку сумма, разность и произведение целых чисел всегда дают целое число, то выражение в скобках $M = a_0k^{n-1} + a_1k^{n-2} + \dots + a_{n-1}$ также является некоторым целым числом.

Таким образом, мы получили равенство вида:

$a_n = -k \cdot M$

Это равенство, где $a_n, k, M$ — целые числа, по определению делимости означает, что число $a_n$ делится нацело на число $k$. Следовательно, любой целый корень $k$ уравнения является делителем его свободного члена $a_n$. Что и требовалось доказать.

Эта теорема очень полезна на практике, так как она позволяет ограничить поиск возможных целых корней конечным набором делителей свободного члена.

Ответ: Если уравнение $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0$ с целочисленными коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена $a_n$.

11. Как понизить степень алгебраического уравнения, зная один из его корней?

Для понижения степени алгебраического уравнения, зная один из его корней, используется теорема Безу и ее следствие.

Теоретическое обоснование

Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P_n(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть $P_n(a)$.

Следствие из этой теоремы: если число $a$ является корнем многочлена $P_n(x)$ (а значит, и корнем уравнения $P_n(x) = 0$), то $P_n(a) = 0$. Это означает, что многочлен $P_n(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка. В результате такого деления мы получаем новый многочлен $Q_{n-1}(x)$, степень которого на единицу меньше исходного:

$P_n(x) = (x - a) \cdot Q_{n-1}(x)$

Таким образом, исходное уравнение $P_n(x) = 0$ становится эквивалентно уравнению:

$(x - a) \cdot Q_{n-1}(x) = 0$

Решениями этого уравнения будут известный корень $x=a$ и корни уравнения $Q_{n-1}(x) = 0$, которое имеет степень на единицу меньше исходного. Таким образом, задача сводится к нахождению корней уравнения пониженной степени.

Методы понижения степени

Существует два основных способа разделить многочлен $P_n(x)$ на двучлен $(x - a)$:

1. Деление многочлена на многочлен "столбиком" (или "уголком"). Этот метод аналогичен делению чисел столбиком.
2. Схема Горнера. Это более быстрый и алгоритмически простой метод для деления многочлена на двучлен вида $(x-a)$.

Пример

Рассмотрим кубическое уравнение: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$.

Предположим, мы подобрали или нам дан один из корней этого уравнения, например, $x_1 = 2$. Проверим, действительно ли это корень:

$2^3 + 2(2^2) - 5(2) - 6 = 8 + 2(4) - 10 - 6 = 8 + 8 - 10 - 6 = 16 - 16 = 0$.

Поскольку $x=2$ является корнем, мы можем понизить степень уравнения, разделив многочлен $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ на двучлен $(x - 2)$.

Решение методом деления "столбиком":

 x² + 4x + 3x-2 | x³ + 2x² - 5x - 6 -(x³ - 2x²) ----------- 4x² - 5x -(4x² - 8x) ----------- 3x - 6 -(3x - 6) --------- 0

В результате деления мы получили многочлен $x^2 + 4x + 3$. Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$(x - 2)(x^2 + 4x + 3) = 0$

Остальные корни находятся из квадратного уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. Решая его (например, по теореме Виета или через дискриминант), находим корни $x_2 = -1$ и $x_3 = -3$.

Решение по схеме Горнера:

Выпишем коэффициенты исходного многочлена $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ в ряд: $1, 2, -5, -6$. В качестве корня используем $a = 2$.

Первый коэффициент нового многочлена ($b_2$) всегда равен первому коэффициенту исходного ($a_3=1$). Каждый следующий коэффициент ($b_k$) получается умножением известного корня ($a=2$) на предыдущий найденный коэффициент ($b_{k+1}$) и сложением с соответствующим коэффициентом исходного многочлена ($a_{k+1}$). Последнее число в таблице — это остаток от деления ($R$), который равен нулю, что подтверждает правильность вычислений.

Коэффициенты нового многочлена: $1, 4, 3$. Это соответствует многочлену $x^2 + 4x + 3$. Дальнейшее решение аналогично предыдущему методу.

Ответ: Чтобы понизить степень алгебраического уравнения $P_n(x) = 0$, зная один из его корней $x=a$, необходимо разделить многочлен $P_n(x)$ на двучлен $(x-a)$. Это можно сделать с помощью деления "столбиком" или по схеме Горнера. В результате деления получится многочлен $Q_{n-1}(x)$ со степенью на единицу меньше. Исходное уравнение примет вид $(x-a) \cdot Q_{n-1}(x) = 0$, и для нахождения остальных корней нужно будет решить новое, более простое уравнение $Q_{n-1}(x) = 0$.

12. Какой многочлен называется симметрическим?

Симметрическим многочленом от $n$ переменных $x_1, x_2, \ldots, x_n$ называется многочлен, который не изменяется при любой перестановке (перемене мест) своих переменных.

Формально, многочлен $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ является симметрическим, если для любой перестановки $\sigma$ индексов $\{1, 2, \ldots, n\}$ выполняется равенство:
$P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = P(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)})$

Проще говоря, если в многочлене поменять местами любые две переменные, вид многочлена не изменится. Например, для многочлена от двух переменных $P(x, y)$ это означает, что $P(x, y) = P(y, x)$. Для многочлена от трех переменных $P(x, y, z)$ это означает, что $P(x, y, z) = P(y, x, z) = P(x, z, y)$ и так далее для всех возможных перестановок.

Примеры симметрических многочленов:

• От двух переменных $x, y$:
  • $x + y$ (так как $y + x = x + y$)
  • $xy$ (так как $yx = xy$)
  • $x^2 + y^2$
  • $x^3 + y^3 + 5xy$
• От трех переменных $x, y, z$:
  • $x + y + z$
  • $xy + yz + zx$
  • $xyz$
  • $x^2 + y^2 + z^2$

Многочлен $x - y$ не является симметрическим, так как при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ получается $y - x$, что не равно исходному многочлену (кроме случая $x=y$).

Элементарные симметрические многочлены

Особую роль играют так называемые элементарные (или основные) симметрические многочлены, обозначаемые $\sigma_k$. Для $n$ переменных $x_1, \ldots, x_n$ они определяются следующим образом:

• $\sigma_1 = x_1 + x_2 + \ldots + x_n$ (сумма всех переменных)
• $\sigma_2 = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j$ (сумма всех попарных произведений)
• $\ldots$
• $\sigma_k = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \ldots x_{i_k}$ (сумма всех произведений по $k$ различных переменных)
• $\ldots$
• $\sigma_n = x_1 x_2 \ldots x_n$ (произведение всех переменных)

Основная теорема о симметрических многочленах

Эта фундаментальная теорема гласит, что любой симметрический многочлен от переменных $x_1, \ldots, x_n$ можно единственным образом представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$.

Например, симметрический многочлен $P(x, y) = x^2 + y^2$ можно выразить через элементарные симметрические многочлены для двух переменных $\sigma_1 = x + y$ и $\sigma_2 = xy$:
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.

Ответ: Симметрический многочлен — это многочлен от нескольких переменных, который не изменяет своего вида при любой перестановке (замене мест) этих переменных.

13. Каковы элементарные симметрические многочлены от трёх переменных?

Элементарные симметрические многочлены — это многочлены, которые не изменяются при любой перестановке своих переменных. Для $n$ переменных существует ровно $n$ элементарных симметрических многочленов.

В задаче рассматривается случай трёх переменных. Обозначим их как $x_1, x_2, x_3$. Тогда элементарные симметрические многочлены, которые обычно обозначают греческой буквой сигма с индексом, равным степени многочлена ($\sigma_k$), определяются следующим образом:

Первый элементарный симметрический многочлен ($\sigma_1$) — это сумма всех переменных. Его степень равна 1.
$\sigma_1(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2 + x_3$

Второй элементарный симметрический многочлен ($\sigma_2$) — это сумма всех возможных попарных произведений различных переменных. Его степень равна 2.
$\sigma_2(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$

Третий элементарный симметрический многочлен ($\sigma_3$) — это произведение всех трёх переменных. Его степень равна 3.
$\sigma_3(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2x_3$

Эти многочлены являются фундаментальными в теории симметрических многочленов. Согласно основной теореме о симметрических многочленах, любой симметрический многочлен от $x_1, x_2, x_3$ может быть однозначно представлен в виде многочлена от $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$.

Также эти многочлены известны из формул Виета для кубического уравнения, корнями которого являются $x_1, x_2, x_3$:
$(t - x_1)(t - x_2)(t - x_3) = t^3 - \sigma_1 t^2 + \sigma_2 t - \sigma_3 = 0$

Ответ: Элементарными симметрическими многочленами от трёх переменных $x_1, x_2, x_3$ являются:
$\sigma_1 = x_1 + x_2 + x_3$
$\sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
$\sigma_3 = x_1x_2x_3$

14. Сформулировать теорему Виета для многочлена третьей степени с одним переменным.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Для многочлена третьей степени с одним переменным, который имеет общий вид $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, где $a, b, c, d$ — это коэффициенты (причем $a \neq 0$), теорема формулируется следующим образом.

Пусть $x_1, x_2, x_3$ — это три корня уравнения $P(x) = 0$. Данный многочлен можно представить в виде произведения, содержащего его корни: $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Раскрыв скобки в этом выражении и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$ к коэффициентам исходного многочлена, мы получаем следующие соотношения.

Сумма корней многочлена равна отношению коэффициента при второй степени переменной ($b$) к старшему коэффициенту ($a$), взятому с противоположным знаком:
$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

Сумма всех попарных произведений корней равна отношению коэффициента при первой степени переменной ($c$) к старшему коэффициенту ($a$):
$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$

Произведение всех трех корней равно отношению свободного члена ($d$) к старшему коэффициенту ($a$), взятому с противоположным знаком:
$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Эти три равенства и составляют содержание теоремы Виета для многочлена третьей степени.

Ответ:
Для многочлена третьей степени вида $ax^3 + bx^2 + cx + d$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ теорема Виета утверждает, что справедливы следующие соотношения:
$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$
$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

15. Какой многочлен называют многочленом от нескольких переменных? Что называют степенью этого многочлена?

Какой многочлен называют многочленом от нескольких переменных?
Многочленом от нескольких переменных называют алгебраическую сумму одночленов. Одночлен от нескольких переменных, в свою очередь, представляет собой произведение числового коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в неотрицательные целые степени.

Например, выражение $P(x, y, z) = 5x^3y^2z - 2xy^4 + 7z^2 - 9$ является многочленом от трех переменных $x, y, z$. Этот многочлен состоит из четырех одночленов: $5x^3y^2z$, $-2xy^4$, $7z^2$ и $-9$.

Ответ: Многочленом от нескольких переменных называют сумму одночленов.

Что называют степенью этого многочлена?
Степенью многочлена от нескольких переменных, приведенного к стандартному виду (т.е. в котором нет подобных членов), называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью самого одночлена является сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например, рассмотрим многочлен $P(x, y) = 8x^4y^2 - 3x^3y^5 + xy$. Чтобы найти его степень, определим степень каждого одночлена:
- степень одночлена $8x^4y^2$ равна $4 + 2 = 6$;
- степень одночлена $-3x^3y^5$ равна $3 + 5 = 8$;
- степень одночлена $xy$ (или $x^1y^1$) равна $1 + 1 = 2$.
Наибольшая из этих степеней – 8. Следовательно, степень всего многочлена $P(x, y)$ равна 8.

Ответ: Степенью многочлена от нескольких переменных называют наибольшую из степеней одночленов, из которых он состоит (после приведения многочлена к стандартному виду).

16. Какой многочлен называют однородным?

Однородным многочленом (или однородным полиномом) называют многочлен, все члены (одночлены) которого имеют одну и ту же степень. Эта общая степень называется степенью однородности многочлена.

Чтобы понять это определение, нужно вспомнить, что степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, для одночлена $7x^3y^2z$ степень равна $3 + 2 + 1 = 6$. Для свободного члена (числа без переменных) степень считается равной 0.

Примеры однородных многочленов

1. Многочлен $P(x, y) = 3x^2 - 5xy + 2y^2$ является однородным многочленом второй степени.
- Степень члена $3x^2$ равна 2.
- Степень члена $-5xy$ (т.е. $-5x^1y^1$) равна $1+1=2$.
- Степень члена $2y^2$ равна 2.
Все члены имеют одинаковую степень 2.

2. Многочлен $P(a, b, c) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ является однородным многочленом третьей степени.
- Степени членов $a^3, b^3, c^3$ равны 3.
- Степень члена $-3abc$ (т.е. $-3a^1b^1c^1$) равна $1+1+1=3$.
Все члены имеют одинаковую степень 3.

Пример многочлена, который не является однородным

Многочлен $Q(x, y) = 5x^3 - 2xy + 4y^2 - 7$.
- Степень члена $5x^3$ равна 3.
- Степень члена $-2xy$ равна $1+1=2$.
- Степень члена $4y^2$ равна 2.
- Степень члена $-7$ (свободного члена) равна 0.
Поскольку степени членов (3, 2, 2, 0) различны, этот многочлен не является однородным.

Формальное определение

Многочлен $P(x_1, x_2, \dots, x_n)$ называется однородным степени $k$, если для любого числа $\lambda$ выполняется тождество: $P(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n) = \lambda^k P(x_1, x_2, \dots, x_n)$.
Проверим это свойство на первом примере $P(x, y) = 3x^2 - 5xy + 2y^2$:
$P(\lambda x, \lambda y) = 3(\lambda x)^2 - 5(\lambda x)(\lambda y) + 2(\lambda y)^2 = 3\lambda^2x^2 - 5\lambda^2xy + 2\lambda^2y^2 = \lambda^2(3x^2 - 5xy + 2y^2) = \lambda^2 P(x, y)$.
Так как множитель при $P(x, y)$ равен $\lambda^2$, многочлен является однородным степени 2.

Ответ: Однородным называется многочлен, у которого все его члены (одночлены) имеют одинаковую степень.

17. Записать формулу бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона используется для раскрытия скобок в выражении вида $(a+b)^n$, где $n$ — целое неотрицательное число. Она позволяет представить степень двучлена (бинома) в виде многочлена.

Формула записывается с помощью знака суммы следующим образом:
$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k $

В развернутом виде, перечисляя все слагаемые, формула выглядит так:
$ (a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^{n-1}ab^{n-1} + C_n^n b^n $

В данной формуле используются следующие обозначения:
• $a$ и $b$ — любые слагаемые (числа, переменные или выражения).
• $n$ — показатель степени, который должен быть целым неотрицательным числом ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).
• $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты. Они равны числу сочетаний из $n$ по $k$ и вычисляются по формуле:
$ C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $
где $m!$ (читается как "эм факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $m$. По определению $0! = 1$.

Ответ: Формула бинома Ньютона для возведения двучлена $(a+b)$ в степень $n$, где $n$ — целое неотрицательное число, имеет вид: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где биномиальные коэффициенты $C_n^k$ вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Найти частное и остаток от деления многочлена $x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x$ на многочлен $x^2 + x + 1$.

Для нахождения частного и остатка от деления многочлена $x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x$ на многочлен $x^2 + x + 1$ необходимо выполнить деление многочленов столбиком.

1. Делим старший член делимого ($x^5$) на старший член делителя ($x^2$), чтобы найти первый член частного: $x^5 \div x^2 = x^3$. Умножаем полученный член $x^3$ на делитель $x^2 + x + 1$ и вычитаем результат из исходного многочлена:
$x^3 \cdot (x^2 + x + 1) = x^5 + x^4 + x^3$
$(x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x) - (x^5 + x^4 + x^3) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 3x$

2. Теперь делим старший член полученного остатка ($x^4$) на старший член делителя ($x^2$), чтобы найти второй член частного: $x^4 \div x^2 = x^2$. Умножаем $x^2$ на делитель и вычитаем:
$x^2 \cdot (x^2 + x + 1) = x^4 + x^3 + x^2$
$(x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 3x) - (x^4 + x^3 + x^2) = -5x^3 + x^2 - 3x$

3. Повторяем процедуру. Делим старший член нового остатка ($-5x^3$) на $x^2$: $-5x^3 \div x^2 = -5x$. Это третий член частного. Умножаем и вычитаем:
$-5x \cdot (x^2 + x + 1) = -5x^3 - 5x^2 - 5x$
$(-5x^3 + x^2 - 3x) - (-5x^3 - 5x^2 - 5x) = 6x^2 + 2x$

4. Снова делим старший член остатка ($6x^2$) на $x^2$: $6x^2 \div x^2 = 6$. Это четвертый член частного. Умножаем и вычитаем:
$6 \cdot (x^2 + x + 1) = 6x^2 + 6x + 6$
$(6x^2 + 2x) - (6x^2 + 6x + 6) = -4x - 6$

Степень многочлена $-4x - 6$ (равна 1) меньше степени делителя $x^2 + x + 1$ (равна 2), следовательно, деление завершено.Частное (неполное частное) представляет собой сумму найденных членов: $x^3 + x^2 - 5x + 6$.Остатком является многочлен $-4x - 6$.

Ответ: частное равно $x^3 + x^2 - 5x + 6$, остаток равен $-4x - 6$.

2. Не преобразуя многочлен $P(x) = 5(x^2 - 7x + 12) + 11(x^2 - 8x + 15)$, установить, делится ли он на двучлен $x - 3$.

Чтобы установить, делится ли многочлен $P(x)$ на двучлен $x-a$, не выполняя деление или преобразование, используется теорема Безу. Она гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению этого многочлена в точке $x=a$, то есть $P(a)$.

Соответственно, многочлен $P(x)$ делится на $x-a$ без остатка тогда и только тогда, когда $P(a) = 0$.

В данном случае нам нужно проверить делимость многочлена $P(x) = 5(x^2 - 7x + 12) + 11(x^2 - 8x + 15)$ на двучлен $x-3$.

Здесь $a=3$. Вычислим значение многочлена $P(x)$ при $x=3$:

$P(3) = 5(3^2 - 7 \cdot 3 + 12) + 11(3^2 - 8 \cdot 3 + 15)$

Сначала вычислим значения выражений в каждой из скобок:

$3^2 - 7 \cdot 3 + 12 = 9 - 21 + 12 = -12 + 12 = 0$

$3^2 - 8 \cdot 3 + 15 = 9 - 24 + 15 = -15 + 15 = 0$

Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение для $P(3)$:

$P(3) = 5 \cdot 0 + 11 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$

Так как значение многочлена в точке $x=3$ равно нулю ($P(3)=0$), то, согласно теореме Безу, многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x-3$ без остатка.

Ответ: да, многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x-3$.

3. Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$.

Дано кубическое уравнение: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$.

Для решения этого уравнения с целыми коэффициентами воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Если уравнение имеет целые корни, они должны быть делителями свободного члена, который равен -6.

Возможные целые корни: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Выполним проверку, подставляя эти значения в уравнение. Обозначим левую часть уравнения как $P(x)$.
Проверим $x = -1$:
$P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 \cdot 1 + 5 - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0$.
Поскольку равенство верное, $x_1 = -1$ является корнем уравнения.

Это означает, что многочлен $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ можно разделить на двучлен $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$, без остатка. Разделив многочлен на $(x+1)$ (например, методом деления "в столбик"), получим квадратный трехчлен:$(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) \div (x+1) = x^2 + x - 6$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде произведения:
$(x+1)(x^2 + x - 6) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. У нас есть два случая:
1) $x+1 = 0$, откуда $x_1 = -1$.
2) $x^2 + x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.
Используем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_3 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

В результате мы нашли три корня исходного уравнения.

Ответ: $-3; -1; 2$.

4. Записать разложение бинома $(2a - \frac{1}{5})^5$.

Для разложения бинома $(2a-\frac{1}{5})^5$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:
$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальные коэффициенты.

В данном случае $x = 2a$, $y = -\frac{1}{5}$ и $n=5$.
Разложение имеет вид:
$(2a - \frac{1}{5})^5 = C_5^0 (2a)^5 (-\frac{1}{5})^0 + C_5^1 (2a)^4 (-\frac{1}{5})^1 + C_5^2 (2a)^3 (-\frac{1}{5})^2 + C_5^3 (2a)^2 (-\frac{1}{5})^3 + C_5^4 (2a)^1 (-\frac{1}{5})^4 + C_5^5 (2a)^0 (-\frac{1}{5})^5$.

Сначала вычислим биномиальные коэффициенты $C_5^k$ для $k$ от 0 до 5. Их можно найти с помощью треугольника Паскаля для строки $n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Итак:
$C_5^0 = 1$
$C_5^1 = 5$
$C_5^2 = 10$
$C_5^3 = 10$
$C_5^4 = 5$
$C_5^5 = 1$

Теперь последовательно вычислим каждый член разложения:
Первый член: $C_5^0 (2a)^{5} (-\frac{1}{5})^{0} = 1 \cdot 32a^5 \cdot 1 = 32a^5$.
Второй член: $C_5^1 (2a)^{4} (-\frac{1}{5})^{1} = 5 \cdot 16a^4 \cdot (-\frac{1}{5}) = -16a^4$.
Третий член: $C_5^2 (2a)^{3} (-\frac{1}{5})^{2} = 10 \cdot 8a^3 \cdot \frac{1}{25} = \frac{80a^3}{25} = \frac{16}{5}a^3$.
Четвертый член: $C_5^3 (2a)^{2} (-\frac{1}{5})^{3} = 10 \cdot 4a^2 \cdot (-\frac{1}{125}) = -\frac{40a^2}{125} = -\frac{8}{25}a^2$.
Пятый член: $C_5^4 (2a)^{1} (-\frac{1}{5})^{4} = 5 \cdot 2a \cdot \frac{1}{625} = \frac{10a}{625} = \frac{2}{125}a$.
Шестой член: $C_5^5 (2a)^{0} (-\frac{1}{5})^{5} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{3125}) = -\frac{1}{3125}$.

Суммируя все полученные члены, получаем окончательное разложение бинома:
$32a^5 - 16a^4 + \frac{16}{5}a^3 - \frac{8}{25}a^2 + \frac{2}{125}a - \frac{1}{3125}$.

Ответ: $32a^5 - 16a^4 + \frac{16}{5}a^3 - \frac{8}{25}a^2 + \frac{2}{125}a - \frac{1}{3125}$.

5. Решить систему уравнений $\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7. \end{cases}$

Для решения системы уравнений $ \begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19 \\ x - y = 7 \end{cases} $ используем метод подстановки. Из второго, линейного, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = y + 7$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19$

Раскроем скобки. Для этого возведем $(y+7)$ в квадрат и умножим $(y+7)$ на $y$:

$(y^2 + 14y + 49) - (y^2 + 7y) - y^2 = 19$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 = 19$

$(y^2 - y^2 - y^2) + (14y - 7y) + 49 = 19$

$-y^2 + 7y + 49 = 19$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-y^2 + 7y + 49 - 19 = 0$

$-y^2 + 7y + 30 = 0$

Для удобства решения умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при старшем члене стал положительным:

$y^2 - 7y - 30 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно переменной $y$. Можно использовать формулу для корней через дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2$ должна быть равна $7$, а их произведение $y_1 \cdot y_2$ должно быть равно $-30$. Подбором находим корни:

$y_1 = 10$

$y_2 = -3$

Теперь, когда у нас есть значения для $y$, найдем соответствующие значения для $x$, используя ранее выведенное соотношение $x = y + 7$.

1. Для $y_1 = 10$:

$x_1 = 10 + 7 = 17$

Таким образом, первая пара решений $(x; y)$ это $(17; 10)$.

2. Для $y_2 = -3$:

$x_2 = -3 + 7 = 4$

Таким образом, вторая пара решений $(x; y)$ это $(4; -3)$.

Проведем проверку, подставив найденные пары в исходные уравнения.

Для пары $(17; 10)$:

$x - y = 17 - 10 = 7$ (верно).

$x^2 - xy - y^2 = 17^2 - 17 \cdot 10 - 10^2 = 289 - 170 - 100 = 19$ (верно).

Для пары $(4; -3)$:

$x - y = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$ (верно).

$x^2 - xy - y^2 = 4^2 - 4(-3) - (-3)^2 = 16 + 12 - 9 = 19$ (верно).

Обе пары удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: $(17; 10)$, $(4; -3)$.

6. Сумма квадратов числителя и знаменателя некоторой дроби равна 25. Сумма этой и обратной ей дроби равна $ \frac{25}{12} $. Найти исходную дробь.

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Согласно условию задачи, сумма квадратов числителя и знаменателя равна 25. Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 + y^2 = 25$

Также по условию, сумма этой дроби и обратной ей дроби ($\frac{y}{x}$) равна $\frac{25}{12}$. Запишем второе уравнение:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}$

Преобразуем левую часть второго уравнения, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{x \cdot x + y \cdot y}{xy} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12} \end{cases}$

Подставим значение $x^2 + y^2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{25}{xy} = \frac{25}{12}$

Отсюда следует, что $xy = 12$.

Теперь наша система уравнений стала проще:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = \frac{12}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$, что следует из $xy=12$). Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25$

$x^2 + \frac{144}{x^2} = 25$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 + 144 = 25x^2$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$ (где $t > 0$). Уравнение примет вид квадратного:

$t^2 - 25t + 144 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями являются числа 9 и 16, так как $9 + 16 = 25$ и $9 \cdot 16 = 144$.

$t_1 = 9$, $t_2 = 16$.

Вернемся к замене $x^2 = t$:

1) $x^2 = 9 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$.
2) $x^2 = 16 \implies x_3 = 4, x_4 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ из уравнения $y = \frac{12}{x}$:

1) Если $x = 3$, то $y = \frac{12}{3} = 4$. Получаем дробь $\frac{3}{4}$.
2) Если $x = -3$, то $y = \frac{12}{-3} = -4$. Получаем дробь $\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.
3) Если $x = 4$, то $y = \frac{12}{4} = 3$. Получаем дробь $\frac{4}{3}$.
4) Если $x = -4$, то $y = \frac{12}{-4} = -3$. Получаем дробь $\frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две дроби, которые являются взаимно обратными.

Ответ: $\frac{3}{4}$ или $\frac{4}{3}$.

1. Разложить на множители многочлен

$x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 - 3x - 3.$

Для разложения многочлена $x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 - 3x - 3$ на множители воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем члены попарно:

$(x^5 + x^4) + (-2x^3 - 2x^2) + (-3x - 3)$

Из каждой группы вынесем за скобки общий множитель:

$x^4(x + 1) - 2x^2(x + 1) - 3(x + 1)$

Теперь видно, что все три получившихся слагаемых имеют общий множитель $(x + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 1)(x^4 - 2x^2 - 3)$

Далее необходимо разложить на множители многочлен во второй скобке: $x^4 - 2x^2 - 3$. Это биквадратное выражение. Для его разложения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид квадратного трехчлена относительно $y$:

$y^2 - 2y - 3$

Найдем корни этого квадратного трехчлена, чтобы разложить его на множители. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней равно -3, а их сумма равна 2. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -1. Следовательно, разложение на множители имеет вид:

$y^2 - 2y - 3 = (y - 3)(y + 1)$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2$ вместо $y$:

$(x^2 - 3)(x^2 + 1)$

Таким образом, мы разложили и вторую часть исходного выражения. Соединив все множители, получаем окончательное разложение исходного многочлена:

$(x + 1)(x^2 - 3)(x^2 + 1)$

Многочлены $x^2 - 3$ и $x^2 + 1$ являются неприводимыми над полем рациональных чисел.

Ответ: $(x + 1)(x^2 - 3)(x^2 + 1)$

2. Решить уравнение

$\frac{10}{5-x} + \frac{3x-6}{6-2x} = \frac{3}{(x-3)(x-1)}$

Для решения данного уравнения первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому устанавливаем следующие ограничения:

1. $5-x \neq 0 \implies x \neq 5$

2. $6-2x \neq 0 \implies 2(3-x) \neq 0 \implies x \neq 3$

3. $(x-3)(x-1) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1, x \neq 3, x \neq 5$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Упростим каждую дробь, приведя знаменатели к стандартному виду $(x-a)$:

$\frac{10}{5-x} = \frac{10}{-(x-5)} = -\frac{10}{x-5}$

$\frac{3x-6}{6-2x} = \frac{3(x-2)}{2(3-x)} = \frac{3(x-2)}{-2(x-3)} = -\frac{3(x-2)}{2(x-3)}$

Теперь сложим преобразованные дроби, приведя их к общему знаменателю $2(x-5)(x-3)$:

$-\frac{10}{x-5} - \frac{3(x-2)}{2(x-3)} = \frac{-10 \cdot 2(x-3) - 3(x-2)(x-5)}{2(x-5)(x-3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$-20(x-3) - 3(x^2 - 5x - 2x + 10) = -20x + 60 - 3(x^2 - 7x + 10) = -20x + 60 - 3x^2 + 21x - 30 = -3x^2 + x + 30$

Итак, левая часть уравнения равна $\frac{-3x^2 + x + 30}{2(x-5)(x-3)}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{-3x^2 + x + 30}{2(x-5)(x-3)} = \frac{3}{(x-3)(x-1)}$

Так как $x \neq 3$, мы можем умножить обе части уравнения на $(x-3)$, чтобы сократить этот множитель:

$\frac{-3x^2 + x + 30}{2(x-5)} = \frac{3}{x-1}$

Теперь, используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$(-3x^2 + x + 30)(x-1) = 3 \cdot 2(x-5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$-3x^3 + 3x^2 + x^2 - x + 30x - 30 = 6x - 30$

$-3x^3 + 4x^2 + 29x - 30 = 6x - 30$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-3x^3 + 4x^2 + 29x - 6x - 30 + 30 = 0$

$-3x^3 + 4x^2 + 23x = 0$

Умножим на -1 и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$3x^3 - 4x^2 - 23x = 0$

$x(3x^2 - 4x - 23) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x = 0$

2) $3x^2 - 4x - 23 = 0$

Первый корень $x_1 = 0$. Он удовлетворяет ОДЗ.

Второе уравнение — квадратное. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-23) = 16 + 276 = 292$

Корни квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{292}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 73}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{73}}{6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{73})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{73}}{3}$

Мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{2 + \sqrt{73}}{3}$ и $x_3 = \frac{2 - \sqrt{73}}{3}$. Эти иррациональные корни также удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны 1, 3 или 5.

Ответ: $0; \frac{2 + \sqrt{73}}{3}; \frac{2 - \sqrt{73}}{3}$.

3. Уравнение $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ имеет корни $x_1 = 1, x_2 = -2$. Найти $a, b$ и третий корень этого уравнения.

Для решения данной задачи воспользуемся тем, что если число является корнем уравнения, то при подстановке этого числа в уравнение оно обращается в верное равенство. Затем для нахождения третьего корня применим теорему Виета для кубического уравнения.

Нахождение коэффициентов a и b

Дано уравнение $x^3 + x^2 + ax + b = 0$. Известно, что $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$ являются его корнями.
Подставим первый корень $x_1 = 1$ в уравнение:
$1^3 + 1^2 + a \cdot 1 + b = 0$
$1 + 1 + a + b = 0$
$a + b = -2$

Теперь подставим второй корень $x_2 = -2$ в уравнение:
$(-2)^3 + (-2)^2 + a \cdot (-2) + b = 0$
$-8 + 4 - 2a + b = 0$
$-4 - 2a + b = 0$
$-2a + b = 4$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$\begin{cases} a + b = -2 \\ -2a + b = 4 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $a$:
$(-2a + b) - (a + b) = 4 - (-2)$
$-3a = 6$
$a = \frac{6}{-3} = -2$

Подставим найденное значение $a = -2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $b$:
$-2 + b = -2$
$b = 0$
Таким образом, исходное уравнение имеет вид: $x^3 + x^2 - 2x = 0$.
Ответ: $a = -2$, $b = 0$.

Нахождение третьего корня

Для нахождения третьего корня $x_3$ воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения вида $x^3 + p_1x^2 + p_2x + p_3 = 0$. Сумма корней такого уравнения равна коэффициенту при $x^2$ с противоположным знаком: $x_1 + x_2 + x_3 = -p_1$.
В нашем уравнении $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ коэффициент при $x^2$ равен 1.
Следовательно, сумма корней равна:
$x_1 + x_2 + x_3 = -1$

Мы знаем значения двух корней: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Подставим их в формулу:
$1 + (-2) + x_3 = -1$
$-1 + x_3 = -1$
$x_3 = 0$
Ответ: Третий корень уравнения равен $0$.

4. Найти член разложения $ \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10} $, содержащий $x^2$.

Для нахождения искомого члена разложения воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения $(a+b)^n$, который обозначается как $T_{k+1}$ (где $k$ изменяется от 0 до $n$), имеет вид:

$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

В нашем случае дано выражение $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$, где:

$a = \sqrt{x} = x^{1/2}$

$b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$

$n = 10$

Подставим эти значения в формулу для общего члена разложения:

$T_{k+1} = \binom{10}{k} (x^{1/2})^{10-k} (x^{-1/2})^k$

Теперь упростим выражение, выполнив действия со степенями $x$:

$T_{k+1} = \binom{10}{k} x^{\frac{1}{2}(10-k)} x^{-\frac{1}{2}k} = \binom{10}{k} x^{\frac{10-k}{2} - \frac{k}{2}} = \binom{10}{k} x^{\frac{10-2k}{2}} = \binom{10}{k} x^{5-k}$

Нам необходимо найти член разложения, содержащий $x^2$. Это означает, что показатель степени при $x$ должен быть равен 2. Составим и решим уравнение относительно $k$:

$5 - k = 2$

Отсюда находим $k$:

$k = 5 - 2 = 3$

Таким образом, искомый член соответствует значению $k=3$. Это будет четвертый член разложения ($T_{3+1}=T_4$). Теперь вычислим его полностью. Сначала найдем биномиальный коэффициент $\binom{10}{3}$:

$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Подставив $k=3$ и значение коэффициента в формулу для $T_{k+1}$, получим искомый член:

$T_{3+1} = 120 \cdot x^{5-3} = 120x^2$

Ответ: $120x^2$.

5. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0, \\ 2y^2 + xy + x + 3y = 5. \end{cases}$$

Дана система уравнений:

Первое уравнение системы $2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$ является однородным уравнением второго порядка. Разложим его левую часть на множители. Можно заметить, что $y=0$ влечет $x=0$, но пара $(0,0)$ не является решением второго уравнения ($0 \neq 5$), поэтому $y \neq 0$. Разделим первое уравнение на $y^2$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 3\left(\frac{x}{y}\right) - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Найдем его корни:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене:

1) $\frac{x}{y} = -2 \implies x = -2y$

2) $\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x$

Теперь рассмотрим два случая, подставляя полученные соотношения во второе уравнение системы $2y^2 + xy + x + 3y = 5$.

Случай 1: $x = -2y$

Подставим $x = -2y$ во второе уравнение:

$2y^2 + (-2y)y + (-2y) + 3y = 5$

$2y^2 - 2y^2 - 2y + 3y = 5$

$y = 5$

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = -2y = -2 \cdot 5 = -10$

Получили первое решение системы: $(-10, 5)$.

Случай 2: $y = 2x$

Подставим $y = 2x$ во второе уравнение:

$2(2x)^2 + x(2x) + x + 3(2x) = 5$

$2(4x^2) + 2x^2 + x + 6x = 5$

$8x^2 + 2x^2 + 7x = 5$

$10x^2 + 7x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-5) = 49 + 200 = 249$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 10} = \frac{-7 \pm \sqrt{249}}{20}$

Получаем два значения для $x$:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{249}}{20}$ и $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{249}}{20}$

Найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = 2x$:

При $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{249}}{20}$, получаем $y_1 = 2 \cdot \frac{-7 - \sqrt{249}}{20} = \frac{-7 - \sqrt{249}}{10}$.

При $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{249}}{20}$, получаем $y_2 = 2 \cdot \frac{-7 + \sqrt{249}}{20} = \frac{-7 + \sqrt{249}}{10}$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений.

Ответ: $(-10, 5)$, $\left(\frac{-7 - \sqrt{249}}{20}, \frac{-7 - \sqrt{249}}{10}\right)$, $\left(\frac{-7 + \sqrt{249}}{20}, \frac{-7 + \sqrt{249}}{10}\right)$.