Номер 5, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0, \\ 2y^2 + xy + x + 3y = 5. \end{cases}$$

Дана система уравнений:

Первое уравнение системы $2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$ является однородным уравнением второго порядка. Разложим его левую часть на множители. Можно заметить, что $y=0$ влечет $x=0$, но пара $(0,0)$ не является решением второго уравнения ($0 \neq 5$), поэтому $y \neq 0$. Разделим первое уравнение на $y^2$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 3\left(\frac{x}{y}\right) - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Найдем его корни:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене:

1) $\frac{x}{y} = -2 \implies x = -2y$

2) $\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x$

Теперь рассмотрим два случая, подставляя полученные соотношения во второе уравнение системы $2y^2 + xy + x + 3y = 5$.

Случай 1: $x = -2y$

Подставим $x = -2y$ во второе уравнение:

$2y^2 + (-2y)y + (-2y) + 3y = 5$

$2y^2 - 2y^2 - 2y + 3y = 5$

$y = 5$

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = -2y = -2 \cdot 5 = -10$

Получили первое решение системы: $(-10, 5)$.

Случай 2: $y = 2x$

Подставим $y = 2x$ во второе уравнение:

$2(2x)^2 + x(2x) + x + 3(2x) = 5$

$2(4x^2) + 2x^2 + x + 6x = 5$

$8x^2 + 2x^2 + 7x = 5$

$10x^2 + 7x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-5) = 49 + 200 = 249$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 10} = \frac{-7 \pm \sqrt{249}}{20}$

Получаем два значения для $x$:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{249}}{20}$ и $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{249}}{20}$

Найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = 2x$:

При $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{249}}{20}$, получаем $y_1 = 2 \cdot \frac{-7 - \sqrt{249}}{20} = \frac{-7 - \sqrt{249}}{10}$.

При $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{249}}{20}$, получаем $y_2 = 2 \cdot \frac{-7 + \sqrt{249}}{20} = \frac{-7 + \sqrt{249}}{10}$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений.

Ответ: $(-10, 5)$, $\left(\frac{-7 - \sqrt{249}}{20}, \frac{-7 - \sqrt{249}}{10}\right)$, $\left(\frac{-7 + \sqrt{249}}{20}, \frac{-7 + \sqrt{249}}{10}\right)$.