Номер 6, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Сумма квадратов числителя и знаменателя некоторой дроби равна 25. Сумма этой и обратной ей дроби равна $ \frac{25}{12} $. Найти исходную дробь.

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Согласно условию задачи, сумма квадратов числителя и знаменателя равна 25. Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 + y^2 = 25$

Также по условию, сумма этой дроби и обратной ей дроби ($\frac{y}{x}$) равна $\frac{25}{12}$. Запишем второе уравнение:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}$

Преобразуем левую часть второго уравнения, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{x \cdot x + y \cdot y}{xy} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12} \end{cases}$

Подставим значение $x^2 + y^2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{25}{xy} = \frac{25}{12}$

Отсюда следует, что $xy = 12$.

Теперь наша система уравнений стала проще:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = \frac{12}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$, что следует из $xy=12$). Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25$

$x^2 + \frac{144}{x^2} = 25$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 + 144 = 25x^2$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$ (где $t > 0$). Уравнение примет вид квадратного:

$t^2 - 25t + 144 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями являются числа 9 и 16, так как $9 + 16 = 25$ и $9 \cdot 16 = 144$.

$t_1 = 9$, $t_2 = 16$.

Вернемся к замене $x^2 = t$:

1) $x^2 = 9 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$.
2) $x^2 = 16 \implies x_3 = 4, x_4 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ из уравнения $y = \frac{12}{x}$:

1) Если $x = 3$, то $y = \frac{12}{3} = 4$. Получаем дробь $\frac{3}{4}$.
2) Если $x = -3$, то $y = \frac{12}{-3} = -4$. Получаем дробь $\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.
3) Если $x = 4$, то $y = \frac{12}{4} = 3$. Получаем дробь $\frac{4}{3}$.
4) Если $x = -4$, то $y = \frac{12}{-4} = -3$. Получаем дробь $\frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две дроби, которые являются взаимно обратными.

Ответ: $\frac{3}{4}$ или $\frac{4}{3}$.