Номер 2, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Решить уравнение

$\frac{10}{5-x} + \frac{3x-6}{6-2x} = \frac{3}{(x-3)(x-1)}$

Для решения данного уравнения первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому устанавливаем следующие ограничения:

1. $5-x \neq 0 \implies x \neq 5$

2. $6-2x \neq 0 \implies 2(3-x) \neq 0 \implies x \neq 3$

3. $(x-3)(x-1) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1, x \neq 3, x \neq 5$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Упростим каждую дробь, приведя знаменатели к стандартному виду $(x-a)$:

$\frac{10}{5-x} = \frac{10}{-(x-5)} = -\frac{10}{x-5}$

$\frac{3x-6}{6-2x} = \frac{3(x-2)}{2(3-x)} = \frac{3(x-2)}{-2(x-3)} = -\frac{3(x-2)}{2(x-3)}$

Теперь сложим преобразованные дроби, приведя их к общему знаменателю $2(x-5)(x-3)$:

$-\frac{10}{x-5} - \frac{3(x-2)}{2(x-3)} = \frac{-10 \cdot 2(x-3) - 3(x-2)(x-5)}{2(x-5)(x-3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$-20(x-3) - 3(x^2 - 5x - 2x + 10) = -20x + 60 - 3(x^2 - 7x + 10) = -20x + 60 - 3x^2 + 21x - 30 = -3x^2 + x + 30$

Итак, левая часть уравнения равна $\frac{-3x^2 + x + 30}{2(x-5)(x-3)}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{-3x^2 + x + 30}{2(x-5)(x-3)} = \frac{3}{(x-3)(x-1)}$

Так как $x \neq 3$, мы можем умножить обе части уравнения на $(x-3)$, чтобы сократить этот множитель:

$\frac{-3x^2 + x + 30}{2(x-5)} = \frac{3}{x-1}$

Теперь, используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$(-3x^2 + x + 30)(x-1) = 3 \cdot 2(x-5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$-3x^3 + 3x^2 + x^2 - x + 30x - 30 = 6x - 30$

$-3x^3 + 4x^2 + 29x - 30 = 6x - 30$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-3x^3 + 4x^2 + 29x - 6x - 30 + 30 = 0$

$-3x^3 + 4x^2 + 23x = 0$

Умножим на -1 и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$3x^3 - 4x^2 - 23x = 0$

$x(3x^2 - 4x - 23) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x = 0$

2) $3x^2 - 4x - 23 = 0$

Первый корень $x_1 = 0$. Он удовлетворяет ОДЗ.

Второе уравнение — квадратное. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-23) = 16 + 276 = 292$

Корни квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{292}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 73}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{73}}{6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{73})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{73}}{3}$

Мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{2 + \sqrt{73}}{3}$ и $x_3 = \frac{2 - \sqrt{73}}{3}$. Эти иррациональные корни также удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны 1, 3 или 5.

Ответ: $0; \frac{2 + \sqrt{73}}{3}; \frac{2 - \sqrt{73}}{3}$.