Номер 6, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Две бригады, из которых вторая начинает работать на 5 дней позже первой, закончили работу за 15 дней, считая от момента начала работы второй бригады. Если бы эта работа была поручена каждой бригаде отдельно, то для её выполнения первой бригаде понадобилось бы на 10 дней больше, чем второй. За сколько дней может выполнить эту работу каждая бригада, работая отдельно?

Пусть весь объем работы равен 1.

Обозначим за $x$ количество дней, за которое вторая бригада может выполнить всю работу, работая самостоятельно. Тогда производительность второй бригады (часть работы, выполняемая за день) составляет $P_2 = \frac{1}{x}$.

Из условия известно, что первой бригаде на выполнение той же работы в одиночку требуется на 10 дней больше, чем второй. Значит, первая бригада выполнит работу за $x + 10$ дней. Ее производительность равна $P_1 = \frac{1}{x+10}$.

Вторая бригада начала работу на 5 дней позже первой, и с момента начала ее работы до завершения прошло 15 дней. Это означает, что вторая бригада работала в течение 15 дней.

Первая бригада начала работать на 5 дней раньше и работала все те же 15 дней, что и вторая. Таким образом, общее время работы первой бригады составляет $5 + 15 = 20$ дней.

За 20 дней первая бригада выполнила часть работы, равную $W_1 = 20 \cdot P_1 = 20 \cdot \frac{1}{x+10} = \frac{20}{x+10}$.

За 15 дней вторая бригада выполнила часть работы, равную $W_2 = 15 \cdot P_2 = 15 \cdot \frac{1}{x} = \frac{15}{x}$.

Совместными усилиями они выполнили всю работу, поэтому сумма выполненных ими частей работы равна 1. Составим уравнение: $\frac{20}{x+10} + \frac{15}{x} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+10)$. Умножим обе части уравнения на $x(x+10)$, учитывая, что по смыслу задачи $x>0$. $20x + 15(x+10) = x(x+10)$

Раскроем скобки: $20x + 15x + 150 = x^2 + 10x$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $35x + 150 = x^2 + 10x$ $x^2 + 10x - 35x - 150 = 0$ $x^2 - 25x - 150 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 625 + 600 = 1225$ Так как $\sqrt{1225} = 35$, найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 \pm 35}{2}$

Первый корень: $x_1 = \frac{25 + 35}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Второй корень: $x_2 = \frac{25 - 35}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку $x$ представляет собой количество дней, это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, второй бригаде для выполнения работы в одиночку требуется 30 дней.

Время, необходимое первой бригаде, составляет $x + 10 = 30 + 10 = 40$ дней.

Ответ: первая бригада может выполнить работу за 40 дней, а вторая бригада — за 30 дней.