Номер 405, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

405. (Устно.) Выяснить, какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами:

1) $16,9$;

2) $7,25(4)$;

3) $99,1357911...$ (после запятой записаны подряд все нечётные числа).

Чтобы определить, какие из данных чисел являются иррациональными, необходимо проанализировать вид их десятичной записи. Рациональные числа имеют конечную или бесконечную периодическую десятичную запись. Иррациональные числа имеют бесконечную непериодическую десятичную запись.

1) 16,9

Это число представляет собой конечную десятичную дробь. Любое число с конечной десятичной записью является рациональным, так как его можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем в виде степени 10. $16,9 = \frac{169}{10}$. Следовательно, это число рациональное.
Ответ: не является иррациональным.

2) 7,25(4)

Это число является бесконечной периодической десятичной дробью, что означает $7,25444...$. Любая периодическая дробь является представлением рационального числа. Её можно преобразовать в обыкновенную дробь: Пусть $x = 7,25(4)$. $100x = 725,(4)$ $1000x = 7254,(4)$ $1000x - 100x = 7254,(4) - 725,(4) \implies 900x = 6529 \implies x = \frac{6529}{900}$. Так как число представимо в виде обыкновенной дроби, оно рациональное.
Ответ: не является иррациональным.

3) 99,1357911...

В этом числе после запятой записаны подряд все нечётные натуральные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... Полученная десятичная дробь $99,1357911131517...$ является бесконечной. Чтобы определить, является ли число рациональным, нужно проверить, является ли эта последовательность цифр периодической. Предположим, что последовательность периодическая с некоторой длиной периода $L$. Однако, в последовательности нечётных чисел встречаются числа, состоящие из любого количества девяток (например, 9, 99, 999, ... так как $10^k - 1$ — нечётное число при $k \ge 1$). Это значит, что в десятичной записи нашего числа будут встречаться блоки из девяток любой длины. Например, встретится блок из $L+1$ девяток. Такой блок не может содержаться в периоде длиной $L$. Следовательно, последовательность цифр не является периодической. Поскольку десятичная запись этого числа бесконечная и непериодическая, число является иррациональным.
Ответ: является иррациональным.