Номер 401, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

401. $\begin{cases} 9x^2 - 4y^2 + 5x + 10 = 0, \\ 8x^2 - 3y^2 + 5y + 10 = 0. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений вычтем второе уравнение из первого:

$$ (9x^2 - 4y^2 + 5x + 10) - (8x^2 - 3y^2 + 5y + 10) = 0 $$

$$ 9x^2 - 8x^2 - 4y^2 + 3y^2 + 5x - 5y + 10 - 10 = 0 $$

$$ x^2 - y^2 + 5x - 5y = 0 $$

Сгруппируем слагаемые и разложим полученное выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$ (x^2 - y^2) + (5x - 5y) = 0 $$

$$ (x - y)(x + y) + 5(x - y) = 0 $$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$$ (x - y)(x + y + 5) = 0 $$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: $x - y = 0$

Из этого уравнения следует, что $y = x$. Подставим это выражение в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$$ 8x^2 - 3x^2 + 5x + 10 = 0 $$

$$ 5x^2 + 5x + 10 = 0 $$

Разделим уравнение на 5:

$$ x^2 + x + 2 = 0 $$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 $$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $x + y + 5 = 0$

Из этого уравнения следует, что $y = -x - 5$. Подставим это выражение во второе исходное уравнение:

$$ 8x^2 - 3(-x - 5)^2 + 5(-x - 5) + 10 = 0 $$

$$ 8x^2 - 3(x^2 + 10x + 25) - 5x - 25 + 10 = 0 $$

$$ 8x^2 - 3x^2 - 30x - 75 - 5x - 15 = 0 $$

$$ 5x^2 - 35x - 90 = 0 $$

Разделим уравнение на 5:

$$ x^2 - 7x - 18 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение, например, разложением на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -18, а сумма равна 7. Это числа 9 и -2.

$$ (x - 9)(x + 2) = 0 $$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 9$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = -x - 5$:

Если $x_1 = 9$, то $y_1 = -9 - 5 = -14$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -(-2) - 5 = 2 - 5 = -3$.

Таким образом, система имеет два решения: $(-2, -3)$ и $(9, -14)$.

Ответ: $(-2, -3)$, $(9, -14)$.