Номер 394, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

394. При делении многочлена поочерёдно на двучлены $x+2$, $x-3$, $x+4$ в остатке получаются соответственно числа 6, 26, 12. Найти остаток при делении этого многочлена на $(x+2)(x-3)(x+4)$.

Обозначим многочлен через $P(x)$. Согласно теореме Безу (следствие из теоремы о делении многочленов с остатком), остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-k)$ равен значению этого многочлена в точке $k$, то есть $P(k)$.

Исходя из условий задачи, мы можем записать следующие равенства:

• При делении $P(x)$ на $x+2$ остаток равен 6, следовательно, $P(-2) = 6$.
• При делении $P(x)$ на $x-3$ остаток равен 26, следовательно, $P(3) = 26$.
• При делении $P(x)$ на $x+4$ остаток равен 12, следовательно, $P(-4) = 12$.

Нам необходимо найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на произведение $D(x) = (x+2)(x-3)(x+4)$. Степень этого делителя равна 3. По правилу деления многочленов, степень остатка $R(x)$ должна быть меньше степени делителя, то есть не выше 2. Поэтому остаток можно представить в общем виде как многочлен второй степени: $R(x) = ax^2 + bx + c$.

Процесс деления можно записать в виде тождества: $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $Q(x)$ — это частное. Подставив выражения для $D(x)$ и $R(x)$, получим:

$P(x) = (x+2)(x-3)(x+4) \cdot Q(x) + ax^2 + bx + c$

Если подставить в это тождество корни делителя ($x=-2$, $x=3$, $x=-4$), то первый член в правой части $(D(x) \cdot Q(x))$ обратится в ноль. Таким образом, $P(k) = R(k)$ для каждого из этих корней. Это позволяет нам составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a, b, c$:

• При $x=-2$: $P(-2) = R(-2) \implies a(-2)^2 + b(-2) + c = 6 \implies 4a - 2b + c = 6$.
• При $x=3$: $P(3) = R(3) \implies a(3)^2 + b(3) + c = 26 \implies 9a + 3b + c = 26$.
• При $x=-4$: $P(-4) = R(-4) \implies a(-4)^2 + b(-4) + c = 12 \implies 16a - 4b + c = 12$.

Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} 4a - 2b + c = 6 & \text{(1)} \\ 9a + 3b + c = 26 & \text{(2)} \\ 16a - 4b + c = 12 & \text{(3)} \end{cases}$

Решим эту систему. Вычтем уравнение (1) из уравнений (2) и (3), чтобы избавиться от переменной $c$:

$(9a + 3b + c) - (4a - 2b + c) = 26 - 6 \implies 5a + 5b = 20 \implies a + b = 4$ (4).

$(16a - 4b + c) - (4a - 2b + c) = 12 - 6 \implies 12a - 2b = 6 \implies 6a - b = 3$ (5).

Теперь у нас есть более простая система из двух уравнений (4) и (5):

$\begin{cases} a + b = 4 \\ 6a - b = 3 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(a+b) + (6a-b) = 4+3 \implies 7a = 7$, откуда $a = 1$.

Подставим $a=1$ в уравнение (4): $1 + b = 4$, откуда $b = 3$.

Наконец, подставим найденные значения $a=1$ и $b=3$ в уравнение (1), чтобы найти $c$: $4(1) - 2(3) + c = 6 \implies 4 - 6 + c = 6 \implies -2 + c = 6$, откуда $c = 8$.

Коэффициенты остатка найдены: $a=1, b=3, c=8$. Следовательно, искомый остаток $R(x) = ax^2 + bx + c$ имеет вид $x^2 + 3x + 8$.

Ответ: $x^2 + 3x + 8$.