Номер 390, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

390. 1) $(x^2 + 2x)^2 - 2x^2 - 4x - 3 = 0;$

2) $(x^2 - x - 3)(x^2 - x - 2) = 12;$

3) $(x^2 + x)^2 + (3x - 1)x^2 + 5x(x - 1) = 6;$

4) $x^2(x^2 - 5) - 2x(x^2 - 4) + 4 = 0;$

5) $(x^2 - 2x)^2 - 4x(x^2 + 2) + 4(10x - 1) = 7x^2;$

6) $(x^2 - 2)^2 + x(x - 1)(x + 1) = 1.$

1) $(x^2 + 2x)^2 - 2x^2 - 4x - 3 = 0$
Вынесем -2 за скобки в третьем и четвертом членах:
$(x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0$
Это биквадратное уравнение относительно выражения $x^2 + 2x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета:
$t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.
Случай 1: $x^2 + 2x = 3$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Случай 2: $x^2 + 2x = -1$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
$x_3 = -1$.
Объединяем корни, полученные в обоих случаях.
Ответ: -3; -1; 1.

2) $(x^2 - x - 3)(x^2 - x - 2) = 12$
Заметим, что в обеих скобках есть одинаковое выражение $x^2 - x$. Сделаем замену.
Пусть $t = x^2 - x$. Уравнение примет вид:
$(t - 3)(t - 2) = 12$
Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:
$t^2 - 2t - 3t + 6 = 12$
$t^2 - 5t - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 5$
$t_1 \cdot t_2 = -6$
Следовательно, $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $x^2 - x = 6$
$x^2 - x - 6 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Случай 2: $x^2 - x = -1$
$x^2 - x + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Ответ: -2; 3.

3) $(x^2 + x)^2 + (3x - 1)x^2 + 5x(x - 1) = 6$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(x^4 + 2x^3 + x^2) + (3x^3 - x^2) + (5x^2 - 5x) - 6 = 0$
$x^4 + (2x^3 + 3x^3) + (x^2 - x^2 + 5x^2) - 5x - 6 = 0$
$x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = 0$
Это уравнение четвертой степени. Найдем его целые корни среди делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Пусть $P(x) = x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6$.
$P(1) = 1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
$P(-1) = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0$. Значит, $x=-1$ является корнем.
$P(-2) = (-2)^4 + 5(-2)^3 + 5(-2)^2 - 5(-2) - 6 = 16 - 40 + 20 + 10 - 6 = 0$. Значит, $x=-2$ является корнем.
$P(-3) = (-3)^4 + 5(-3)^3 + 5(-3)^2 - 5(-3) - 6 = 81 - 135 + 45 + 15 - 6 = 0$. Значит, $x=-3$ является корнем.
Мы нашли 4 корня для уравнения четвертой степени, значит, это все его корни.
Ответ: -3; -2; -1; 1.

4) $x^2(x^2 - 5) - 2x(x^2 - 4) + 4 = 0$
Раскроем скобки:
$x^4 - 5x^2 - 2x^3 + 8x + 4 = 0$
Перегруппируем слагаемые в стандартном порядке:
$x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 8x + 4 = 0$
Сгруппируем слагаемые иначе для разложения на множители:
$(x^4 - 5x^2 + 4) - (2x^3 - 8x) = 0$
$(x^2 - 1)(x^2 - 4) - 2x(x^2 - 4) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 4)$ за скобку:
$(x^2 - 4)(x^2 - 1 - 2x) = 0$
$(x^2 - 4)(x^2 - 2x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Случай 2: $x^2 - 2x - 1 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Ответ: -2; 2; $1 - \sqrt{2}$; $1 + \sqrt{2}$.

5) $(x^2 - 2x)^2 - 4x(x^2 + 2) + 4(10x - 1) = 7x^2$
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$(x^4 - 4x^3 + 4x^2) - (4x^3 + 8x) + (40x - 4) - 7x^2 = 0$
$x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4x^3 - 8x + 40x - 4 - 7x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 32x - 4 = 0$
Целые корни ищем среди делителей свободного члена (-4): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
$P(2) = 2^4 - 8(2^3) - 3(2^2) + 32(2) - 4 = 16 - 64 - 12 + 64 - 4 = 0$. Корень $x=2$.
$P(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^3 - 3(-2)^2 + 32(-2) - 4 = 16 + 64 - 12 - 64 - 4 = 0$. Корень $x=-2$.
Так как $x=2$ и $x=-2$ являются корнями, многочлен делится на $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$.
Выполним деление многочлена $(x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 32x - 4)$ на $(x^2 - 4)$ и получим $x^2 - 8x + 1$.
Уравнение примет вид: $(x^2 - 4)(x^2 - 8x + 1) = 0$.
Случай 1: $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Случай 2: $x^2 - 8x + 1 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 64 - 4 = 60$.
$x = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$.
Ответ: -2; 2; $4 - \sqrt{15}$; $4 + \sqrt{15}$.

6) $(x^2 - 2)^2 + x(x - 1)(x + 1) = 1$
Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(x^2 - 2)^2 + x(x^2 - 1) = 1$
Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:
$(x^4 - 4x^2 + 4) + (x^3 - x) - 1 = 0$
$x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 3 = 0$
Найдем целые корни среди делителей свободного члена (3): $\pm 1, \pm 3$.
$P(1) = 1 + 1 - 4 - 1 + 3 = 0$. Корень $x=1$.
$P(-1) = 1 - 1 - 4 + 1 + 3 = 0$. Корень $x=-1$.
Так как $x=1$ и $x=-1$ являются корнями, многочлен делится на $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$.
Выполним деление многочлена $(x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 3)$ на $(x^2 - 1)$ и получим $x^2 + x - 3$.
Уравнение примет вид: $(x^2 - 1)(x^2 + x - 3) = 0$.
Случай 1: $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Случай 2: $x^2 + x - 3 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Ответ: -1; 1; $\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$; $\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$.