Номер 389, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (389–390).

389. 1) $ \frac{3x^2}{x-1} - \frac{7}{x+1} = \frac{5x^2+9}{x^2-1} $;

2) $ \frac{1-x}{x-3} - \frac{2x}{3x+2} = \frac{4}{6+7x-3x^2} $

1) $\frac{3x^2}{x-1} - \frac{7}{x+1} = \frac{5x^2+9}{x^2-1}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Знаменатель в правой части $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, поэтому ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$:

$\frac{3x^2(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{7(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5x^2+9}{x^2-1}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x^2-1)$, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x$ входит в ОДЗ:

$3x^2(x+1) - 7(x-1) = 5x^2+9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^3 + 3x^2 - 7x + 7 = 5x^2 + 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^3 + 3x^2 - 5x^2 - 7x + 7 - 9 = 0$

$3x^3 - 2x^2 - 7x - 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти его рациональные корни среди делителей свободного члена (-2), деленных на делители старшего коэффициента (3): $\pm 1, \pm 2, \pm 1/3, \pm 2/3$.

Подставим $x=2$: $3(2)^3 - 2(2)^2 - 7(2) - 2 = 3 \cdot 8 - 2 \cdot 4 - 14 - 2 = 24 - 8 - 14 - 2 = 0$. Значит, $x=2$ является корнем.

Разделим многочлен $3x^3 - 2x^2 - 7x - 2$ на двучлен $(x-2)$ и получим $3x^2 + 4x + 1$.

Уравнение примет вид:

$(x-2)(3x^2 + 4x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Один корень мы нашли: $x_1 = 2$.

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 4x + 1 = 0$:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 2}{6}$

$x_2 = \frac{-4+2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_3 = \frac{-4-2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Проверим найденные корни по ОДЗ ($x \neq \pm 1$). Корень $x_3 = -1$ является посторонним. Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1/3$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-1/3$.

2) $\frac{1-x}{x-3} - \frac{2x}{3x+2} = \frac{4}{6+7x-3x^2}$

Сначала разложим на множители знаменатель дроби в правой части уравнения: $-3x^2+7x+6$. Для этого найдем корни уравнения $3x^2-7x-6=0$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

$x_1 = \frac{7+11}{6} = 3$, $x_2 = \frac{7-11}{6} = -\frac{2}{3}$

Тогда $-3x^2+7x+6 = -3(x-3)(x+2/3) = -(x-3)(3x+2)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{1-x}{x-3} - \frac{2x}{3x+2} = \frac{4}{-(x-3)(3x+2)}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $3x+2 \neq 0 \implies x \neq -2/3$.

Умножим обе части на общий знаменатель $(x-3)(3x+2)$ с учетом ОДЗ:

$(1-x)(3x+2) - 2x(x-3) = -4$

Раскроем скобки:

$3x+2-3x^2-2x - (2x^2-6x) = -4$

$-3x^2+x+2 - 2x^2+6x = -4$

Приведем подобные члены:

$-5x^2+7x+2 = -4$

$-5x^2+7x+6 = 0$

Умножим на -1:

$5x^2-7x-6=0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

$x_1 = \frac{7+13}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{7-13}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

Оба корня $x=2$ и $x=-3/5$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-3/5$.