Номер 396, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

396. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из пункта В в пункт А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов каждый был в пути?

Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста (в км/ч), а $v_в$ — скорость велосипедиста (в км/ч). Обозначим время, через которое они встретились после начала движения, как $t$ (в часах).

До момента встречи, который произошел в некоторой точке С, мотоциклист проехал расстояние $S_{AC} = v_м \cdot t$, а велосипедист проехал расстояние $S_{BC} = v_в \cdot t$.

Согласно условию, после встречи мотоциклист проехал оставшееся расстояние $S_{BC}$ до пункта В за 2 часа. Следовательно, можно записать: $S_{BC} = v_м \cdot 2$.

Аналогично, велосипедист после встречи проехал оставшееся расстояние $S_{AC}$ до пункта А за 4,5 часа. Следовательно: $S_{AC} = v_в \cdot 4.5$.

Теперь у нас есть две пары выражений для одних и тех же расстояний. Мы можем составить систему уравнений:
$v_м \cdot t = v_в \cdot 4.5$ (1)
$v_в \cdot t = v_м \cdot 2$ (2)

Из каждого уравнения выразим отношение скоростей $\frac{v_м}{v_в}$:
Из уравнения (1): $\frac{v_м}{v_в} = \frac{4.5}{t}$
Из уравнения (2): $\frac{v_м}{v_в} = \frac{t}{2}$

Поскольку левые части этих выражений равны, мы можем приравнять и правые части:
$\frac{4.5}{t} = \frac{t}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $t$, используя свойство пропорции:
$t \cdot t = 4.5 \cdot 2$
$t^2 = 9$
$t = \sqrt{9} = 3$ часа (время не может быть отрицательным).

Таким образом, время от начала движения до встречи составляет 3 часа. Теперь мы можем найти общее время в пути для каждого участника движения.

Полное время в пути для мотоциклиста равно времени до встречи плюс время после встречи:
$T_м = t + 2 = 3 + 2 = 5$ часов.

Полное время в пути для велосипедиста также равно времени до встречи плюс время после встречи:
$T_в = t + 4.5 = 3 + 4.5 = 7.5$ часов.

Ответ: мотоциклист был в пути 5 часов, а велосипедист — 7,5 часов.