Номер 400, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (400—401).

400. 1) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2}, \\ x^2 + 2y^2 = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \\ xy^2 - x^2y = 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21, \\ y^2 - 2xy + 15 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 3, \\ 2x^2 - 2xy - y^2 = -6. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2} \\ x^2 + 2y^2 = 6 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение. Пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (где $t \neq 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(2y)^2 + 2y^2 = 6$

$4y^2 + 2y^2 = 6$

$6y^2 = 6$

$y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили две пары решений: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 + 2(2x)^2 = 6$

$x^2 + 2(4x^2) = 6$

$x^2 + 8x^2 = 6$

$9x^2 = 6$

$x^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, откуда $x_3 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x_4 = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Если $x_3 = \frac{\sqrt{6}}{3}$, то $y_3 = 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Если $x_4 = -\frac{\sqrt{6}}{3}$, то $y_4 = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{3}) = -\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Получили еще две пары решений: $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{2\sqrt{6}}{3})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{2\sqrt{6}}{3})$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ xy^2 - x^2y = 6 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем оба уравнения.

Первое уравнение: $\frac{y - x}{xy} = \frac{1}{6}$.

Второе уравнение: $xy(y - x) = 6$.

Сделаем замену переменных. Пусть $u = y - x$ и $v = xy$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} \frac{u}{v} = \frac{1}{6} \\ v \cdot u = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 6u$.

Подставим во второе уравнение:

$(6u) \cdot u = 6$

$6u^2 = 6$

$u^2 = 1$, откуда $u_1 = 1$ и $u_2 = -1$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 1$.

Тогда $v = 6u = 6$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} y - x = 1 \\ xy = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = x + 1$. Подставим во второе:

$x(x + 1) = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 + 1 = 3$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -3 + 1 = -2$.

Получили две пары решений: $(2, 3)$ и $(-3, -2)$.

Случай 2: $u = -1$.

Тогда $v = 6u = -6$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} y - x = -1 \\ xy = -6 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = x - 1$. Подставим во второе:

$x(x - 1) = -6$

$x^2 - x + 6 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $(2, 3)$, $(-3, -2)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21 \\ y^2 - 2xy + 15 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $2xy$: $2xy = y^2 + 15$. Отсюда $xy = \frac{y^2 + 15}{2}$.

Подставим выражение для $xy$ в первое уравнение:

$x^2 - \frac{y^2 + 15}{2} + y^2 = 21$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2 - (y^2 + 15) + 2y^2 = 42$

$2x^2 - y^2 - 15 + 2y^2 = 42$

$2x^2 + y^2 = 57$

Из полученного уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 57 - 2x^2$.

Подставим это в выражение $2xy = y^2 + 15$:

$2xy = (57 - 2x^2) + 15$

$2xy = 72 - 2x^2$

$xy = 36 - x^2$

Предполагая, что $x \neq 0$, выразим $y = \frac{36 - x^2}{x}$.

Подставим это выражение для $y$ в $y^2 = 57 - 2x^2$:

$(\frac{36 - x^2}{x})^2 = 57 - 2x^2$

$\frac{1296 - 72x^2 + x^4}{x^2} = 57 - 2x^2$

$1296 - 72x^2 + x^4 = 57x^2 - 2x^4$

$3x^4 - 129x^2 + 1296 = 0$

Разделим на 3: $x^4 - 43x^2 + 432 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $z = x^2$ ($z \ge 0$).

$z^2 - 43z + 432 = 0$

Дискриминант $D = (-43)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 432 = 1849 - 1728 = 121 = 11^2$.

$z_1 = \frac{43 - 11}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$z_2 = \frac{43 + 11}{2} = \frac{54}{2} = 27$

Оба корня положительные. Вернемся к $x$.

Случай 1: $x^2 = 16$.

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{36 - 4^2}{4} = \frac{36-16}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{36 - (-4)^2}{-4} = \frac{36-16}{-4} = \frac{20}{-4} = -5$.

Получили решения: $(4, 5)$ и $(-4, -5)$.

Случай 2: $x^2 = 27$.

$x_3 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $x_4 = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3}$.

Если $x_3 = 3\sqrt{3}$, то $y_3 = \frac{36 - (3\sqrt{3})^2}{3\sqrt{3}} = \frac{36-27}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Если $x_4 = -3\sqrt{3}$, то $y_4 = \frac{36 - (-3\sqrt{3})^2}{-3\sqrt{3}} = \frac{36-27}{-3\sqrt{3}} = \frac{9}{-3\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.

Получили решения: $(3\sqrt{3}, \sqrt{3})$ и $(-3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Ответ: $(4, 5)$, $(-4, -5)$, $(3\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $(-3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 3 \\ 2x^2 - 2xy - y^2 = -6 \end{cases} $

Это система с однородными левыми частями. Умножим первое уравнение на 2, чтобы правые части стали противоположными:

$2(x^2 - 3xy + 2y^2) = 2 \cdot 3 \implies 2x^2 - 6xy + 4y^2 = 6$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(2x^2 - 6xy + 4y^2) + (2x^2 - 2xy - y^2) = 6 + (-6)$

$4x^2 - 8xy + 3y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (предполагая, что $y \neq 0$; случай $y=0$ приводит к $x=0$, что не является решением исходной системы).

$4(\frac{x}{y})^2 - 8(\frac{x}{y}) + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

$t_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{8} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{8} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$x^2 - 3x(2x) + 2(2x)^2 = 3$

$x^2 - 6x^2 + 2(4x^2) = 3$

$x^2 - 6x^2 + 8x^2 = 3$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили решения: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$, откуда $x = \frac{3}{2}y$.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$(\frac{3}{2}y)^2 - 3(\frac{3}{2}y)y + 2y^2 = 3$

$\frac{9}{4}y^2 - \frac{9}{2}y^2 + 2y^2 = 3$

Приведем к общему знаменателю 4:

$9y^2 - 18y^2 + 8y^2 = 12$

$-y^2 = 12$

$y^2 = -12$. В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, -2)$.