Номер 402, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

402. При дальномерном методе локации из трёх пунктов $A$, $B$ и $C$ определяют соответствующие дальности $a$, $b$ и $c$ до цели $M$. Найти координаты $x$, $y$ и $z$ ($z > 0$) точки $M$ в некоторой прямоугольной системе координат в пространстве, если $a = 60$, $b = 60$, $c = 51$, а координаты точек $A$, $B$ и $C$ следующие: $A(0; 0; 0)$, $B(12; 0; 0)$, $C(6; 18; 0)$.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x, y, z)$. По условию задачи, координата $z$ должна быть положительной ($z > 0$).

В задаче даны координаты трех точек: $A(0; 0; 0)$, $B(12; 0; 0)$, и $C(6; 18; 0)$.

Также известны расстояния (дальности) от этих точек до цели $M$: $a = AM = 60$, $b = BM = 60$, $c = CM = 51$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Используя эту формулу, составим систему из трех уравнений на основе данных расстояний:

1. Для точки $A$: $AM^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 60^2$, что дает $x^2 + y^2 + z^2 = 3600$.

2. Для точки $B$: $BM^2 = (x-12)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 60^2$, что дает $(x-12)^2 + y^2 + z^2 = 3600$.

3. Для точки $C$: $CM^2 = (x-6)^2 + (y-18)^2 + (z-0)^2 = 51^2$, что дает $(x-6)^2 + (y-18)^2 + z^2 = 2601$.

Сначала найдем координату $x$. Правые части первого и второго уравнений равны, следовательно, равны и их левые части:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-12)^2 + y^2 + z^2$

Вычтем из обеих частей $y^2 + z^2$:

$x^2 = (x-12)^2$

Раскроем скобки в правой части: $x^2 = x^2 - 24x + 144$.

Упростив, получим: $0 = -24x + 144$, откуда $24x = 144$ и $x = \frac{144}{24} = 6$.

Теперь, зная $x=6$, подставим это значение в первое и третье уравнения исходной системы, чтобы найти $y$ и $z$.

Подстановка в первое уравнение: $6^2 + y^2 + z^2 = 3600 \implies 36 + y^2 + z^2 = 3600 \implies y^2 + z^2 = 3564$.

Подстановка в третье уравнение: $(6-6)^2 + (y-18)^2 + z^2 = 2601 \implies 0 + (y-18)^2 + z^2 = 2601 \implies (y-18)^2 + z^2 = 2601$.

Мы получили новую систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} y^2 + z^2 = 3564 \\ (y-18)^2 + z^2 = 2601 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $z^2$:

$y^2 - (y-18)^2 = 3564 - 2601$

$y^2 - (y^2 - 36y + 324) = 963$

$y^2 - y^2 + 36y - 324 = 963$

$36y = 963 + 324 \implies 36y = 1287$

Отсюда находим $y$: $y = \frac{1287}{36} = \frac{143}{4} = 35.75$.

Осталось найти $z$. Подставим найденное значение $y$ в уравнение $y^2 + z^2 = 3564$:

$(\frac{143}{4})^2 + z^2 = 3564$

$\frac{20449}{16} + z^2 = 3564$

$z^2 = 3564 - \frac{20449}{16} = \frac{3564 \cdot 16 - 20449}{16} = \frac{57024 - 20449}{16} = \frac{36575}{16}$

По условию $z > 0$, поэтому извлекаем положительный квадратный корень:

$z = \sqrt{\frac{36575}{16}} = \frac{\sqrt{36575}}{4}$.

Число под корнем можно упростить, заметив, что $36575 = 25 \cdot 1463$.

$z = \frac{\sqrt{25 \cdot 1463}}{4} = \frac{5\sqrt{1463}}{4}$.

Таким образом, искомые координаты точки $M$ это $(6; \frac{143}{4}; \frac{5\sqrt{1463}}{4})$.

Ответ: $M(6; \frac{143}{4}; \frac{5\sqrt{1463}}{4})$.