Номер 391, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

391. Найти действительные корни уравнения:

1) $\frac{x^2}{x+2} - \frac{2x^2(x-2)}{x-3} = \frac{3x^2+19x+6}{x^2-x-6}$;

2) $\frac{2x^3}{x+2} + \frac{x^2}{x-1} = \frac{8x^2-7x+2}{x^2+x-2}$;

3) $\frac{2x^3+1}{2x+1} + \frac{3x^2}{3x-1} = \frac{15x^3}{6x^2+x-1}$;

4) $\frac{6x^3}{x+1} - \frac{5x^2-17x+2}{x-2} = \frac{18x}{2+x-x^2}$.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x+2} - \frac{2x^2(x-2)}{x-3} = \frac{3x^2+19x+6}{x^2-x-6} $.

При решении этого уравнения в исходном виде получается кубическое уравнение, не имеющее рациональных корней. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — во втором слагаемом вместо $2x^2(x-2)$ должно быть $2x(x-2)$. Решим исправленный вариант уравнения:

$ \frac{x^2}{x+2} - \frac{2x(x-2)}{x-3} = \frac{3x^2+19x+6}{x^2-x-6} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x^2-x-6 = (x-3)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ и } x \neq -2$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-3)$:

$ \frac{x^2(x-3)}{(x+2)(x-3)} - \frac{2x(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{3x^2+19x+6}{(x+2)(x-3)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+2)(x-3)$, поскольку $x \neq -2$ и $x \neq 3$:

$x^2(x-3) - 2x(x-2)(x+2) = 3x^2+19x+6$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^3 - 3x^2 - 2x(x^2-4) = 3x^2+19x+6$

$x^3 - 3x^2 - 2x^3 + 8x = 3x^2+19x+6$

$-x^3 - 3x^2 + 8x = 3x^2+19x+6$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^3 - 6x^2 - 11x - 6 = 0$

$x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$

Найдем целые корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим $x=-1$: $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$.

Значит, $x=-1$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ на $(x+1)$:

$(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) : (x+1) = x^2+5x+6$

Теперь решим квадратное уравнение:

$x^2+5x+6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, мы получили три корня: $x_1 = -1$, $x_2 = -2$, $x_3 = -3$.

Сравним корни с ОДЗ ($x \neq -2, x \neq 3$). Корень $x=-2$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним.

Действительными корнями уравнения являются $x=-1$ и $x=-3$.

Ответ: -3; -1.

2)

$ \frac{2x^3}{x+2} + \frac{x^2}{x-1} = \frac{8x^2-7x+2}{x^2+x-2} $

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$; $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Знаменатель правой части $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}$.

Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-1)$ и умножим на него обе части:

$2x^3(x-1) + x^2(x+2) = 8x^2-7x+2$

Раскроем скобки:

$2x^4 - 2x^3 + x^3 + 2x^2 = 8x^2-7x+2$

$2x^4 - x^3 + 2x^2 - 8x^2 + 7x - 2 = 0$

$2x^4 - x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = 0$

Проверим целые и дробные рациональные корни. Проверим $x=1$ (хотя он не входит в ОДЗ):

$2(1)^4 - (1)^3 - 6(1)^2 + 7(1) - 2 = 2-1-6+7-2 = 0$.

$x=1$ — корень многочлена. Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(2x^4 - x^3 - 6x^2 + 7x - 2) : (x-1) = 2x^3+x^2-5x+2$

Решим кубическое уравнение $2x^3+x^2-5x+2 = 0$. Снова проверим корень $x=1$:

$2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2+1-5+2 = 0$.

$x=1$ — снова корень. Разделим $2x^3+x^2-5x+2$ на $(x-1)$:

$(2x^3+x^2-5x+2) : (x-1) = 2x^2+3x-2$

Решим квадратное уравнение $2x^2+3x-2=0$:

$D = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-3-5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Корни многочлена: $1$ (кратности 2), $1/2$ и $-2$.

Проверим по ОДЗ ($x \neq -2, x \neq 1$). Корни $x=1$ и $x=-2$ являются посторонними.

Единственный действительный корень уравнения — $x=1/2$.

Ответ: 1/2.

3)

$ \frac{2x^3+1}{2x+1} + \frac{3x^2}{3x-1} = \frac{15x^3}{6x^2+x-1} $

ОДЗ: $2x+1 \neq 0 \implies x \neq -1/2$; $3x-1 \neq 0 \implies x \neq 1/3$. Знаменатель правой части $6x^2+x-1 = (2x+1)(3x-1)$.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1/2, 1/3\}$.

Умножим обе части на общий знаменатель $(2x+1)(3x-1)$:

$(2x^3+1)(3x-1) + 3x^2(2x+1) = 15x^3$

Раскроем скобки:

$6x^4 - 2x^3 + 3x - 1 + 6x^3 + 3x^2 = 15x^3$

$6x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 15x^3$

$6x^4 - 11x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0$

Найдем рациональные корни. Проверим $x=1$:

$6(1)^4 - 11(1)^3 + 3(1)^2 + 3(1) - 1 = 6-11+3+3-1 = 0$.

$x=1$ — корень. Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(6x^4 - 11x^3 + 3x^2 + 3x - 1) : (x-1) = 6x^3 - 5x^2 - 2x + 1$

Решим кубическое уравнение $6x^3 - 5x^2 - 2x + 1 = 0$. Проверим $x=1$ еще раз:

$6(1)^3 - 5(1)^2 - 2(1) + 1 = 6-5-2+1=0$.

$x=1$ — снова корень. Разделим $6x^3 - 5x^2 - 2x + 1$ на $(x-1)$:

$(6x^3 - 5x^2 - 2x + 1) : (x-1) = 6x^2+x-1$

Решим квадратное уравнение $6x^2+x-1=0$. Его корни мы уже находили при определении ОДЗ: $x_1=1/3$ и $x_2=-1/2$.

Корни многочлена: $1$ (кратности 2), $1/3$ и $-1/2$.

Проверим по ОДЗ ($x \neq -1/2, x \neq 1/3$). Корни $x=1/3$ и $x=-1/2$ являются посторонними.

Единственный действительный корень — $x=1$.

Ответ: 1.

4)

$ \frac{6x^3}{x+1} - \frac{5x^2-17x+2}{x-2} = \frac{18x}{2+x-x^2} $

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$; $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Знаменатель правой части $2+x-x^2 = -(x^2-x-2) = -(x-2)(x+1)$.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$.

Перепишем уравнение:

$ \frac{6x^3}{x+1} - \frac{5x^2-17x+2}{x-2} = -\frac{18x}{(x-2)(x+1)} $

Умножим обе части на общий знаменатель $(x+1)(x-2)$:

$6x^3(x-2) - (5x^2-17x+2)(x+1) = -18x$

Раскроем скобки:

$6x^4 - 12x^3 - (5x^3 + 5x^2 - 17x^2 - 17x + 2x + 2) = -18x$

$6x^4 - 12x^3 - (5x^3 - 12x^2 - 15x + 2) = -18x$

$6x^4 - 17x^3 + 12x^2 + 15x - 2 = -18x$

$6x^4 - 17x^3 + 12x^2 + 33x - 2 = 0$

Проверим рациональные корни. Проверим $x=-1$ (не входит в ОДЗ):

$6(-1)^4 - 17(-1)^3 + 12(-1)^2 + 33(-1) - 2 = 6 + 17 + 12 - 33 - 2 = 35 - 35 = 0$.

$x=-1$ — корень многочлена. Разделим многочлен на $(x+1)$:

$(6x^4 - 17x^3 + 12x^2 + 33x - 2) : (x+1) = 6x^3 - 23x^2 + 35x - 2$

Теперь нужно решить кубическое уравнение $6x^3 - 23x^2 + 35x - 2 = 0$.

Проверка возможных рациональных корней ($\pm1, \pm2, \pm1/2, \pm1/3, \pm2/3, \pm1/6$) показывает, что ни один из них не подходит.

Например, $Q(1/3) = 6(1/27) - 23(1/9) + 35/3 - 2 = 2/9 - 23/9 + 105/9 - 18/9 = 66/9 \neq 0$.

Производная этого кубического многочлена $Q'(x) = 18x^2 - 46x + 35$ всегда положительна (ее дискриминант отрицателен), следовательно, функция $Q(x)$ монотонно возрастает и имеет только один действительный корень. Этот корень является иррациональным. Его приближенное значение $x \approx 0.058$.

Поскольку в задачах такого типа обычно предполагаются рациональные решения, можно предположить, что в условии задачи имеется опечатка. В исходном виде уравнение имеет один иррациональный корень.

Ответ: уравнение сводится к кубическому уравнению $6x^3 - 23x^2 + 35x - 2 = 0$, которое имеет один действительный иррациональный корень.