Номер 385, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

385. Числа $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^3 + ax^2 + bx - 2 = 0$, где $a$ и $b$ — рациональные числа. Найти $a$, $b$ и третий корень этого уравнения.

Дано уравнение $x^3 + ax^2 + bx - 2 = 0$, где $a$ и $b$ — рациональные числа. Поскольку $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ является корнем этого уравнения с рациональными коэффициентами, то и сопряженное ему число $x_2 = 1 - \sqrt{3}$ также является корнем.

Для нахождения коэффициентов $a$ и $b$ подставим корень $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ в исходное уравнение: $(1 + \sqrt{3})^3 + a(1 + \sqrt{3})^2 + b(1 + \sqrt{3}) - 2 = 0$.

Вычислим значения степеней в этом выражении: $(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$. $(1 + \sqrt{3})^3 = (1 + \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})^2 = (1 + \sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 2 \cdot 3 = 10 + 6\sqrt{3}$.

Подставив эти результаты в уравнение, получим: $(10 + 6\sqrt{3}) + a(4 + 2\sqrt{3}) + b(1 + \sqrt{3}) - 2 = 0$.

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие $\sqrt{3}$, и слагаемые без него (рациональные части): $(10 + 4a + b - 2) + (6\sqrt{3} + 2a\sqrt{3} + b\sqrt{3}) = 0$ $(8 + 4a + b) + (6 + 2a + b)\sqrt{3} = 0$.

Поскольку $a$ и $b$ — рациональные числа, а $\sqrt{3}$ — иррациональное, данное равенство может выполняться только в том случае, если оба выражения в скобках равны нулю. Это дает нам систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} 4a + b + 8 = 0 \\ 2a + b + 6 = 0 \end{cases} $

Решим полученную систему уравнений. Один из способов — вычесть второе уравнение из первого: $(4a + b + 8) - (2a + b + 6) = 0$ $2a + 2 = 0$ $2a = -2$ $a = -1$.

Ответ: $a=-1$.

Теперь подставим найденное значение $a = -1$ в любое из уравнений системы, например, во второе: $2(-1) + b + 6 = 0$ $-2 + b + 6 = 0$ $b + 4 = 0$ $b = -4$.

Ответ: $b=-4$.

После нахождения коэффициентов $a$ и $b$ уравнение принимает вид: $x^3 - x^2 - 4x - 2 = 0$. Для нахождения третьего корня, который мы обозначим $x_3$, воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, произведение корней кубического уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ равно $-c$.

В нашем случае произведение корней $x_1x_2x_3 = -(-2) = 2$.

Мы знаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{3}$. Найдем их произведение: $x_1x_2 = (1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$.

Подставим это значение в формулу для произведения всех трех корней: $(-2) \cdot x_3 = 2$. Отсюда $x_3 = \frac{2}{-2} = -1$.

Ответ: Третий корень равен $-1$.