Номер 378, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

378. Дорога от пункта A до пункта B идёт на подъём, а от пункта B до пункта C имеет спуск. Пешеход затрачивает $t$ ч на путь от A до C и $\frac{t}{2}$ ч на обратный путь. Найти скорость пешехода на подъёме, если его скорость на спуске на $a$ км/ч больше, чем на подъёме, а расстояние от A до C равно $s$ км.

Обозначим искомое значение скорости пешехода на подъёме как $v_п$ (в км/ч).Исходя из условия задачи, скорость пешехода на спуске будет $v_с = v_п + a$.Пусть расстояние от пункта A до пункта B (подъём) равно $s_1$ км, а расстояние от пункта B до пункта C (спуск) равно $s_2$ км.Общее расстояние от A до C составляет $s = s_1 + s_2$ км.

Составим уравнения на основе времени, затраченного на путь в каждом направлении.

1. Время на путь от A до C:Пешеход проходит участок AB ($s_1$) с подъёмом и участок BC ($s_2$) со спуском.Время в пути равно $t$.$$ t_{AC} = \frac{s_1}{v_п} + \frac{s_2}{v_с} = t $$

2. Время на обратный путь от C до A:На обратном пути участок CB ($s_2$) становится подъёмом, а участок BA ($s_1$) — спуском.Время в пути равно $\frac{t}{2}$.$$ t_{CA} = \frac{s_2}{v_п} + \frac{s_1}{v_с} = \frac{t}{2} $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$$ \begin{cases} \frac{s_1}{v_п} + \frac{s_2}{v_с} = t \\ \frac{s_2}{v_п} + \frac{s_1}{v_с} = \frac{t}{2} \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:$$ \left(\frac{s_1}{v_п} + \frac{s_2}{v_с}\right) + \left(\frac{s_2}{v_п} + \frac{s_1}{v_с}\right) = t + \frac{t}{2} $$$$ \frac{s_1 + s_2}{v_п} + \frac{s_1 + s_2}{v_с} = \frac{3t}{2} $$

Поскольку $s_1 + s_2 = s$, мы можем заменить сумму расстояний:$$ \frac{s}{v_п} + \frac{s}{v_с} = \frac{3t}{2} $$

Подставим в это уравнение выражение для скорости на спуске $v_с = v_п + a$:$$ \frac{s}{v_п} + \frac{s}{v_п + a} = \frac{3t}{2} $$

Приведём левую часть к общему знаменателю:$$ s \cdot \left(\frac{v_п + a + v_п}{v_п(v_п + a)}\right) = \frac{3t}{2} $$$$ s \cdot \frac{2v_п + a}{v_п^2 + a \cdot v_п} = \frac{3t}{2} $$

Используем правило пропорции для преобразования уравнения:$$ 2s(2v_п + a) = 3t(v_п^2 + a \cdot v_п) $$$$ 4sv_п + 2sa = 3tv_п^2 + 3tav_п $$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $v_п$:$$ 3tv_п^2 + (3ta - 4s)v_п - 2sa = 0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней $v_п = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$, где:$A = 3t$$B = 3ta - 4s$$C = -2sa$

Найдём дискриминант $D = B^2 - 4AC$:$$ D = (3ta - 4s)^2 - 4(3t)(-2sa) = (9t^2a^2 - 24tas + 16s^2) + 24tsa $$$$ D = 9t^2a^2 + 16s^2 $$

Теперь найдём корни уравнения для $v_п$:$$ v_п = \frac{-(3ta - 4s) \pm \sqrt{9t^2a^2 + 16s^2}}{2 \cdot 3t} $$$$ v_п = \frac{4s - 3ta \pm \sqrt{16s^2 + 9t^2a^2}}{6t} $$

Поскольку скорость $v_п$ не может быть отрицательной, мы должны выбрать знак, который даст положительный результат. Значения $s, t, a$ по условию задачи положительны.Рассмотрим корень со знаком «минус». Величина под корнем $\sqrt{16s^2 + 9t^2a^2}$ больше, чем $\sqrt{16s^2} = 4s$ и чем $\sqrt{9t^2a^2}=3ta$. Также можно показать, что $\sqrt{16s^2 + 9t^2a^2} > |4s - 3ta|$. Следовательно, выражение $4s - 3ta - \sqrt{16s^2 + 9t^2a^2}$ всегда будет отрицательным. Этот корень не имеет физического смысла в данной задаче.

Поэтому мы выбираем корень со знаком «плюс».

Ответ: Скорость пешехода на подъёме равна $ \frac{4s - 3ta + \sqrt{16s^2 + 9t^2a^2}}{6t} $ км/ч.