Номер 380, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

380. Найти частное $M(x)$ и остаток $R(x)$ от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x):

1) $P(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1$, $Q(x) = 2x^2 + x - 1$;

2) $P(x) = x^3 - 3x^2$, $Q(x) = 2x^2 + 5$;

3) $P(x) = 3x^4 + 7x^3 - 22x^2 - x - 7$, $Q(x) = x^3 + 2x^2 - 4x$;

4) $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - x$, $Q(x) = x^2 + x + 1$.

1) Для нахождения частного $M(x)$ и остатка $R(x)$ от деления многочлена $P(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1$ на многочлен $Q(x) = 2x^2 + x - 1$, выполним деление многочленов "уголком". Для удобства в делимом $P(x)$ запишем член с $x$ с нулевым коэффициентом: $P(x) = 4x^3 + 3x^2 + 0x - 1$.

Первый шаг деления: делим старший член $P(x)$ на старший член $Q(x)$, чтобы найти первый член частного $M(x)$: $\frac{4x^3}{2x^2} = 2x$.

Умножаем $2x$ на $Q(x)$: $2x \cdot (2x^2 + x - 1) = 4x^3 + 2x^2 - 2x$.

Вычитаем полученный многочлен из $P(x)$: $(4x^3 + 3x^2 + 0x - 1) - (4x^3 + 2x^2 - 2x) = x^2 + 2x - 1$.

Второй шаг деления: делим старший член нового многочлена ($x^2$) на старший член $Q(x)$: $\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$.

Умножаем $\frac{1}{2}$ на $Q(x)$: $\frac{1}{2} \cdot (2x^2 + x - 1) = x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

Вычитаем полученный многочлен из $x^2 + 2x - 1$: $(x^2 + 2x - 1) - (x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$.

Степень полученного многочлена $\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ равна 1, что меньше степени делителя $Q(x)$ (равной 2). Следовательно, это и есть остаток $R(x)$. Частное $M(x)$ состоит из членов, найденных на каждом шаге.

Ответ: $M(x) = 2x + \frac{1}{2}$, $R(x) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$.

2) Разделим многочлен $P(x) = x^3 - 3x^2$ на многочлен $Q(x) = 2x^2 + 5$. Запишем $P(x)$, добавив недостающие члены с нулевыми коэффициентами: $P(x) = x^3 - 3x^2 + 0x + 0$.

Первый член частного: $\frac{x^3}{2x^2} = \frac{1}{2}x$.

Вычитаем из $P(x)$ произведение $\frac{1}{2}x \cdot Q(x)$: $(x^3 - 3x^2) - \frac{1}{2}x(2x^2 + 5) = (x^3 - 3x^2) - (x^3 + \frac{5}{2}x) = -3x^2 - \frac{5}{2}x$.

Второй член частного: $\frac{-3x^2}{2x^2} = -\frac{3}{2}$.

Вычитаем из промежуточного остатка произведение $(-\frac{3}{2}) \cdot Q(x)$: $(-3x^2 - \frac{5}{2}x) - (-\frac{3}{2})(2x^2 + 5) = (-3x^2 - \frac{5}{2}x) - (-3x^2 - \frac{15}{2}) = -\frac{5}{2}x + \frac{15}{2}$.

Степень полученного многочлена $R(x) = -\frac{5}{2}x + \frac{15}{2}$ меньше степени $Q(x)$, поэтому это остаток. Частное $M(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.

Ответ: $M(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$, $R(x) = -\frac{5}{2}x + \frac{15}{2}$.

3) Разделим многочлен $P(x) = 3x^4 + 7x^3 - 22x^2 - x - 7$ на многочлен $Q(x) = x^3 + 2x^2 - 4x$.

Первый член частного: $\frac{3x^4}{x^3} = 3x$.

Вычитаем из $P(x)$ произведение $3x \cdot Q(x)$: $(3x^4 + 7x^3 - 22x^2 - x - 7) - 3x(x^3 + 2x^2 - 4x) = (3x^4 + 7x^3 - 22x^2 - x - 7) - (3x^4 + 6x^3 - 12x^2) = x^3 - 10x^2 - x - 7$.

Второй член частного: $\frac{x^3}{x^3} = 1$.

Вычитаем из промежуточного остатка произведение $1 \cdot Q(x)$: $(x^3 - 10x^2 - x - 7) - (x^3 + 2x^2 - 4x) = -12x^2 + 3x - 7$.

Степень полученного многочлена $R(x) = -12x^2 + 3x - 7$ (равна 2) меньше степени $Q(x)$ (равной 3), поэтому это остаток. Частное $M(x) = 3x + 1$.

Ответ: $M(x) = 3x + 1$, $R(x) = -12x^2 + 3x - 7$.

4) Разделим многочлен $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - x$ на многочлен $Q(x) = x^2 + x + 1$. Запишем $P(x)$, добавив недостающие члены с нулевыми коэффициентами: $P(x) = 2x^4 + 3x^3 + 0x^2 - x + 0$.

Первый член частного: $\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2$.

Вычитаем из $P(x)$ произведение $2x^2 \cdot Q(x)$: $(2x^4 + 3x^3 + 0x^2 - x) - 2x^2(x^2 + x + 1) = (2x^4 + 3x^3 + 0x^2 - x) - (2x^4 + 2x^3 + 2x^2) = x^3 - 2x^2 - x$.

Второй член частного: $\frac{x^3}{x^2} = x$.

Вычитаем из промежуточного остатка произведение $x \cdot Q(x)$: $(x^3 - 2x^2 - x) - x(x^2 + x + 1) = (x^3 - 2x^2 - x) - (x^3 + x^2 + x) = -3x^2 - 2x$.

Третий член частного: $\frac{-3x^2}{x^2} = -3$.

Вычитаем из нового остатка произведение $(-3) \cdot Q(x)$: $(-3x^2 - 2x) - (-3)(x^2 + x + 1) = (-3x^2 - 2x) - (-3x^2 - 3x - 3) = x + 3$.

Степень полученного многочлена $R(x) = x + 3$ (равна 1) меньше степени $Q(x)$ (равной 2), поэтому это остаток. Частное $M(x) = 2x^2 + x - 3$.

Ответ: $M(x) = 2x^2 + x - 3$, $R(x) = x + 3$.