Номер 382, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

382. Проверить, что $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$ корни уравнения $6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8 = 0$. Найти остальные корни этого уравнения.

Проверить, что $x_1=1$ и $x_2=-\frac{2}{3}$ – корни уравнения $6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8 = 0$.

Чтобы проверить, являются ли данные числа корнями уравнения, мы подставим их значения в левую часть уравнения и проверим, обращается ли она в ноль.

1. Проверка для $x_1=1$:

$6 \cdot (1)^4 - 11 \cdot (1)^3 - 13 \cdot (1)^2 + 10 \cdot (1) + 8 = 6 - 11 - 13 + 10 + 8 = (6+10+8) - (11+13) = 24 - 24 = 0$.

Получено верное равенство $0=0$, следовательно, $x_1=1$ действительно является корнем уравнения.

2. Проверка для $x_2=-\frac{2}{3}$:

$6 \cdot (-\frac{2}{3})^4 - 11 \cdot (-\frac{2}{3})^3 - 13 \cdot (-\frac{2}{3})^2 + 10 \cdot (-\frac{2}{3}) + 8 =$

$= 6 \cdot \frac{16}{81} - 11 \cdot (-\frac{8}{27}) - 13 \cdot \frac{4}{9} - \frac{20}{3} + 8 = \frac{32}{27} + \frac{88}{27} - \frac{52}{9} - \frac{20}{3} + 8$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 27:

$\frac{32}{27} + \frac{88}{27} - \frac{52 \cdot 3}{27} - \frac{20 \cdot 9}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27} = \frac{32 + 88 - 156 - 180 + 216}{27} = \frac{336 - 336}{27} = 0$.

Получено верное равенство $0=0$, следовательно, $x_2=-\frac{2}{3}$ также является корнем уравнения.

Найти остальные корни этого уравнения.

Поскольку $x_1=1$ и $x_2=-\frac{2}{3}$ являются корнями многочлена $P(x) = 6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8$, то по теореме Безу он делится нацело на двучлены $(x-1)$ и $(x+\frac{2}{3})$.

Следовательно, многочлен $P(x)$ делится и на их произведение. Для удобства вычислений вместо $(x+\frac{2}{3})$ возьмем пропорциональный ему двучлен $(3x+2)$. Таким образом, $P(x)$ должен делиться на $(x-1)(3x+2) = 3x^2 - x - 2$.

Выполним деление многочлена $6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8$ на $3x^2 - x - 2$ (например, "уголком"):

$(6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8) \div (3x^2 - x - 2) = 2x^2 - 3x - 4$.

Теперь исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(3x^2 - x - 2)(2x^2 - 3x - 4) = 0$.

Корни первого множителя нам известны: $x_1=1$ и $x_2=-\frac{2}{3}$. Остальные корни уравнения найдем, решив квадратное уравнение:

$2x^2 - 3x - 4 = 0$.

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9 + 32 = 41$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$.

Ответ: Остальные корни уравнения: $x_3 = \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$ и $x_4 = \frac{3 - \sqrt{41}}{4}$.