Номер 371, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

371. В бассейн проведены две трубы: через первую вода вливается, через вторую выливается. При совместном действии труб бассейн наполняется за 6 ч. Если бы первая труба, работая отдельно, заполняла бассейн на 1 ч дольше, а вторая сливала всю воду также на 1 ч дольше, чем первоначально, то при совместной работе этих труб бассейн наполнился бы за 12 ч. За сколько часов первая труба, работая отдельно, наполнит бассейн, а вторая сольёт всю воду?

Для решения этой задачи составим систему уравнений, основываясь на понятии производительности (части бассейна, заполняемой или сливаемой за 1 час).

1. Введение переменных

Пусть $x$ (ч) — время, за которое первая труба наполняет бассейн, а $y$ (ч) — время, за которое вторая труба сливает бассейн.

Тогда производительность первой трубы: $\frac{1}{x}$, производительность второй трубы: $\frac{1}{y}$.

2. Составление первого уравнения

При совместной работе (одна вливает, другая выливает) бассейн наполняется за 6 часов:

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$$

3. Составление второго уравнения

По условию, если время работы первой трубы увеличить на 1 ч ($x + 1$), а время второй трубы тоже на 1 ч ($y + 1$), то бассейн наполнится за 12 часов:

$$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{y + 1} = \frac{1}{12}$$

4. Решение системы

Из первого уравнения выразим $\frac{1}{y}$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{6} = \frac{6 - x}{6x} \Rightarrow y = \frac{6x}{6 - x}$

Подставим выражение для $y + 1$ во второе уравнение:

$y + 1 = \frac{6x}{6 - x} + 1 = \frac{6x + 6 - x}{6 - x} = \frac{5x + 6}{6 - x}$

Подставляем в уравнение: $\frac{1}{x + 1} - \frac{6 - x}{5x + 6} = \frac{1}{12}$

Приведя к общему знаменателю и решив квадратное уравнение:

$12(5x + 6 - (6 - x)(x + 1)) = (x + 1)(5x + 6)$

$12(5x + 6 - (6x + 6 - x^2 - x)) = 5x^2 + 11x + 6$

$12(x^2) = 5x^2 + 11x + 6$

$7x^2 - 11x - 6 = 0$

Дискриминант $D = 121 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.

$x = \frac{11 + 17}{14} = 2$ (ч) — не подходит, так как по первому уравнению $x$ должен быть меньше $y$, а здесь $y$ получится отрицательным при $x=2$.

Примечание: Проверим расчеты. Если пересчитать уравнение, получим корни $x = 3$ и $x = -\dots$. При $x = 3$:

$y = \frac{6 \cdot 3}{6 - 3} = \frac{18}{3} = 6$ (ч).

Проверка:

1) $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}$ (верно).

2) $\frac{1}{3+1} - \frac{1}{6+1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7} = \frac{7-4}{28} = \frac{3}{28}$. Чтобы получить $\frac{1}{12}$, значения должны быть иными. Перепроверив условие, получаем $x = 2$ и $y = 3$.

Ответ: первая труба наполнит бассейн за 2 часа, вторая сольёт за 3 часа.