Номер 366, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (366–369).

366. 1)

$ \begin{cases} xy - \frac{x}{y} = 6, \\ xy - \frac{y}{x} = \frac{15}{2}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy - 4 = \frac{7x}{y}, \\ xy - \frac{3}{2} = \frac{y}{2x}. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \neq 0$ и $y \neq 0$, так как переменные находятся в знаменателе дробей.

Для решения системы удобно ввести замену переменных. Пусть $a = xy$ и $b = \frac{x}{y}$. Тогда обратное отношение $\frac{y}{x}$ будет равно $\frac{1}{b}$.

Подставим новые переменные в исходную систему:

Из первого уравнения выразим переменную $a$ через $b$:

$a = 6 + b$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$(6 + b) - \frac{1}{b} = \frac{15}{2}$

Чтобы решить это уравнение относительно $b$, умножим все его члены на $2b$ (это возможно, так как $b = \frac{x}{y} \neq 0$):

$2b(6 + b) - 2b(\frac{1}{b}) = 2b(\frac{15}{2})$

$12b + 2b^2 - 2 = 15b$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2b^2 - 3b - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения для $b$ равны:

$b_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$

Получаем два возможных значения для $b$:

$b_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$

$b_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$

Для каждого значения $b$ найдем соответствующее значение $a$ по формуле $a = 6 + b$:

При $b_1 = 2$, $a_1 = 6 + 2 = 8$.

При $b_2 = -\frac{1}{2}$, $a_2 = 6 - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$.

Теперь выполним обратную замену для каждой пары $(a, b)$, чтобы найти $x$ и $y$.

Случай 1: $a = 8$ и $b = 2$.

Из второго уравнения получаем $x = 2y$. Подставляем в первое:

$(2y)y = 8 \Rightarrow 2y^2 = 8 \Rightarrow y^2 = 4$, откуда $y = \pm 2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$. Первое решение: $(4, 2)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$. Второе решение: $(-4, -2)$.

Случай 2: $a = \frac{11}{2}$ и $b = -\frac{1}{2}$.

Из второго уравнения получаем $x = -\frac{1}{2}y$. Подставляем в первое:

$(-\frac{1}{2}y)y = \frac{11}{2} \Rightarrow -\frac{y^2}{2} = \frac{11}{2} \Rightarrow y^2 = -11$.

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4; 2), (-4; -2)$.

2)

Дана система уравнений:

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Преобразуем систему, чтобы она была похожа на предыдущую:

Введем те же переменные: $a = xy$ и $b = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{b}$.

Система в новых переменных:

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 4 + 7b$.

Подставим во второе уравнение:

$(4 + 7b) - \frac{1}{2b} = \frac{3}{2}$

Умножим уравнение на $2b$ ($b \neq 0$):

$2b(4 + 7b) - 1 = 3b$

$8b + 14b^2 - 1 = 3b$

Приведем к стандартному виду:

$14b^2 + 5b - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81$.

Корни для $b$:

$b_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 14} = \frac{-5 \pm 9}{28}$

Получаем два значения для $b$:

$b_1 = \frac{-5 + 9}{28} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$

$b_2 = \frac{-5 - 9}{28} = \frac{-14}{28} = -\frac{1}{2}$

Найдем соответствующие значения $a$ из $a = 4 + 7b$:

При $b_1 = \frac{1}{7}$, $a_1 = 4 + 7 \cdot \frac{1}{7} = 4 + 1 = 5$.

При $b_2 = -\frac{1}{2}$, $a_2 = 4 + 7 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 5$ и $b = \frac{1}{7}$.

Из второго уравнения $x = \frac{y}{7}$. Подставляем в первое:

$(\frac{y}{7})y = 5 \Rightarrow \frac{y^2}{7} = 5 \Rightarrow y^2 = 35$, откуда $y = \pm \sqrt{35}$.

Если $y_1 = \sqrt{35}$, то $x_1 = \frac{\sqrt{35}}{7}$. Первое решение: $(\frac{\sqrt{35}}{7}, \sqrt{35})$.

Если $y_2 = -\sqrt{35}$, то $x_2 = -\frac{\sqrt{35}}{7}$. Второе решение: $(-\frac{\sqrt{35}}{7}, -\sqrt{35})$.

Случай 2: $a = \frac{1}{2}$ и $b = -\frac{1}{2}$.

Из второго уравнения $x = -\frac{y}{2}$. Подставляем в первое:

$(-\frac{y}{2})y = \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{y^2}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow y^2 = -1$.

Это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{\sqrt{35}}{7}; \sqrt{35}), (-\frac{\sqrt{35}}{7}; -\sqrt{35})$.