Номер 360, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

360. 1) $\begin{cases} xy - x + y = 7, \\ xy + x - y = 13; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy - 2(x + y) = 2, \\ xy + x + y = 29. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} xy - x + y = 7 \\ xy + x - y = 13 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:
$(xy - x + y) + (xy + x - y) = 7 + 13$
$2xy = 20$
$xy = 10$

Вычтем из второго уравнения первое:
$(xy + x - y) - (xy - x + y) = 13 - 7$
$xy + x - y - xy + x - y = 6$
$2x - 2y = 6$
$x - y = 3$

Получим новую, более простую систему уравнений:
$\begin{cases} xy = 10 \\ x - y = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$(y + 3)y = 10$
$y^2 + 3y - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Корнями уравнения являются числа $2$ и $-5$.
$y_1 = 2$, $y_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = y + 3$:
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 3 = -2$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5; 2), (-2; -5)$.

2)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} xy - 2(x + y) = 2 \\ xy + x + y = 29 \end{cases}$

Эта система симметрична относительно переменных $x$ и $y$. Введем новые переменные для упрощения.
Пусть $a = xy$ и $b = x + y$.

Подставим новые переменные в исходную систему:
$\begin{cases} a - 2b = 2 \\ a + b = 29 \end{cases}$

Мы получили систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$. Решим ее. Вычтем из второго уравнения первое:
$(a + b) - (a - 2b) = 29 - 2$
$3b = 27$
$b = 9$

Подставим значение $b$ в любое из уравнений, например, во второе:
$a + 9 = 29$
$a = 20$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы имеем:
$xy = a = 20$
$x + y = b = 9$
Получили систему:
$\begin{cases} x + y = 9 \\ xy = 20 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 20 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, корни равны $4$ и $5$.
$t_1 = 4$, $t_2 = 5$.

Это означает, что пары $(x, y)$ могут быть $(4, 5)$ или $(5, 4)$.

Ответ: $(4; 5), (5; 4)$.