Номер 357, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (357–362).

357. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 74, \\ x + y = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 32, \\ x - y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x + y = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x - y = 1. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 74 \\ x + y = 12 \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим переменную y из второго уравнения:

$y = 12 - x$

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + (12 - x)^2 = 74$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + 144 - 24x + x^2 = 74$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2x^2 - 24x + 144 - 74 = 0$

$2x^2 - 24x + 70 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 12x + 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 35. Легко подобрать корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня x:

При $x_1 = 5$, $y_1 = 12 - 5 = 7$.

При $x_2 = 7$, $y_2 = 12 - 7 = 5$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (5; 7), (7; 5).

2) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 32 \\ x - y = 4 \end{cases} $$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для преобразования первого уравнения:

$(x - y)(x + y) = 32$

Из второго уравнения системы нам известно, что $x - y = 4$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$4(x + y) = 32$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x + y = 8$

Теперь мы имеем новую, более простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 8 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную y:

$(x - y) + (x + y) = 4 + 8$

$2x = 12$

$x = 6$

Подставим найденное значение x в любое из уравнений простой системы, например, в $x + y = 8$:

$6 + y = 8$

$y = 8 - 6 = 2$

Решением системы является одна пара чисел.

Ответ: (6; 2).

3) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим y:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (4 - x)^2 = 10$

Раскроем скобки:

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 8x + 16 - 10 = 0$

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения y:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 1 = 3$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = 4 - 3 = 1$.

Система имеет два решения.

Ответ: (1; 3), (3; 1).

4) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 16 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов:

$(x - y)(x + y) = 16$

Из второго уравнения известно, что $x - y = 1$. Подставим это значение в первое уравнение:

$1 \cdot (x + y) = 16$

$x + y = 16$

Теперь решаем систему двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 16 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x - y) + (x + y) = 1 + 16$

$2x = 17$

$x = \frac{17}{2}$

Подставим значение x в уравнение $x + y = 16$:

$\frac{17}{2} + y = 16$

$y = 16 - \frac{17}{2} = \frac{32}{2} - \frac{17}{2} = \frac{15}{2}$

Решением системы является одна пара чисел.

Ответ: $(\frac{17}{2}; \frac{15}{2})$.