gdz.top
Номер 350, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения. §9. Формулы сокращённого умножения для старших степеней. Бином Ньютона - номер 350, страница 126.
№349
№350 (с. 126)
Условие. №350 (с. 126)
350. Найти в разложении бинома $ (x^3 + \frac{1}{x^3})^{18} $ член, не содержащий $x$.
Решение 1. №350 (с. 126)
Решение 2. №350 (с. 126)
Решение 3. №350 (с. 126)
Решение 4. №350 (с. 126)
Для нахождения члена разложения бинома, не содержащего $x$, воспользуемся формулой бинома Ньютона:$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$$Общий $(k+1)$-й член разложения, обозначаемый $T_{k+1}$, определяется формулой:$$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$$
В нашем случае дан бином $\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right)^{18}$.Здесь $a = x^3$, $b = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$ и $n=18$.Подставим эти значения в формулу для общего члена:$$T_{k+1} = C_{18}^k (x^3)^{18-k} \left(\frac{1}{x^3}\right)^k$$
Упростим это выражение, используя свойства степеней:$$T_{k+1} = C_{18}^k (x^3)^{18-k} (x^{-3})^k = C_{18}^k x^{3(18-k)} x^{-3k} = C_{18}^k x^{54-3k-3k} = C_{18}^k x^{54-6k}$$
Член разложения не содержит $x$ (является свободным членом), если показатель степени при $x$ равен нулю. Таким образом, нам необходимо найти значение $k$, удовлетворяющее уравнению:$$54 - 6k = 0$$
Решим это линейное уравнение:$$6k = 54$$$$k = \frac{54}{6}$$$$k = 9$$
Значение $k=9$ соответствует $(k+1)$-му, то есть $(9+1) = 10$-му члену разложения.Теперь найдем величину этого члена, подставив $k=9$ в его формулу:$$T_{10} = C_{18}^9 x^{54-6 \cdot 9} = C_{18}^9 x^{54-54} = C_{18}^9 x^0 = C_{18}^9$$
Осталось вычислить биномиальный коэффициент $C_{18}^9$:$$C_{18}^9 = \frac{18!}{9!(18-9)!} = \frac{18!}{9! \cdot 9!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$Выполнив сокращение дроби, получим:$$C_{18}^9 = 4 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 11$$Проведем вычисления:$$C_{18}^9 = (4 \cdot 5) \cdot 17 \cdot (13 \cdot 11) = 20 \cdot 17 \cdot 143 = 340 \cdot 143 = 48620$$Следовательно, член разложения, не содержащий $x$, равен 48620.
Ответ: 48620.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 350 расположенного на странице 126 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №350 (с. 126), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.