Номер 346, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

346. Разложить на множители однородный многочлен $P(x, y)$, применив подстановку $y = tx$:

1) $P(x, y) = 15x^4 - 8x^3y + 31x^2y^2 - 16xy^3 + 2y^4$;

2) $P(x, y) = 12x^5 - 32x^4y + 9x^3y^2 + 16x^2y^3 - 3xy^4 - 2y^5$.

1) $P(x, y) = 15x^4 - 8x^3y + 31x^2y^2 - 16xy^3 + 2y^4$

Данный многочлен является однородным многочленом четвертой степени, так как сумма степеней переменных в каждом его члене равна 4.

Применим подстановку $y = tx$.

$P(x, tx) = 15x^4 - 8x^3(tx) + 31x^2(tx)^2 - 16x(tx)^3 + 2(tx)^4$

$P(x, tx) = 15x^4 - 8tx^4 + 31t^2x^4 - 16t^3x^4 + 2t^4x^4$

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$P(x, tx) = x^4 (15 - 8t + 31t^2 - 16t^3 + 2t^4)$

Теперь разложим на множители многочлен от переменной $t$: $Q(t) = 2t^4 - 16t^3 + 31t^2 - 8t + 15$.

Найдем корни этого многочлена. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

Проверим $t=3$: $Q(3) = 2(3^4) - 16(3^3) + 31(3^2) - 8(3) + 15 = 2 \cdot 81 - 16 \cdot 27 + 31 \cdot 9 - 24 + 15 = 162 - 432 + 279 - 24 + 15 = 456 - 456 = 0$. Значит, $t=3$ является корнем, и $(t-3)$ — один из множителей.

Разделим многочлен $Q(t)$ на $(t-3)$ (например, по схеме Горнера):

$(2t^4 - 16t^3 + 31t^2 - 8t + 15) \div (t-3) = 2t^3 - 10t^2 + t - 5$.

Теперь разложим на множители кубический многочлен $2t^3 - 10t^2 + t - 5$ методом группировки:

$2t^3 - 10t^2 + t - 5 = 2t^2(t - 5) + 1(t - 5) = (2t^2 + 1)(t - 5)$.

Таким образом, $Q(t) = (t - 3)(t - 5)(2t^2 + 1)$.

Подставим разложение $Q(t)$ обратно в выражение для $P(x, tx)$:

$P(x, tx) = x^4 (t - 3)(t - 5)(2t^2 + 1)$.

Теперь сделаем обратную подстановку $t = y/x$:

$P(x, y) = x^4 \left(\frac{y}{x} - 3\right) \left(\frac{y}{x} - 5\right) \left(2\left(\frac{y}{x}\right)^2 + 1\right)$

$P(x, y) = x^4 \left(\frac{y - 3x}{x}\right) \left(\frac{y - 5x}{x}\right) \left(\frac{2y^2 + x^2}{x^2}\right)$

Сократим множители $x$ в знаменателях с $x^4$:

$P(x, y) = (y - 3x)(y - 5x)(x^2 + 2y^2)$.

Для удобства записи изменим знаки в первых двух скобках:

$P(x, y) = (-(3x - y))(-(5x - y))(x^2 + 2y^2) = (3x - y)(5x - y)(x^2 + 2y^2)$.

Ответ: $(3x - y)(5x - y)(x^2 + 2y^2)$.

2) $P(x, y) = 12x^5 - 32x^4y + 9x^3y^2 + 16x^2y^3 - 3xy^4 - 2y^5$

Данный многочлен является однородным многочленом пятой степени, так как сумма степеней переменных в каждом его члене равна 5.

Применим подстановку $y = tx$.

$P(x, tx) = 12x^5 - 32x^4(tx) + 9x^3(tx)^2 + 16x^2(tx)^3 - 3x(tx)^4 - 2(tx)^5$

$P(x, tx) = 12x^5 - 32tx^5 + 9t^2x^5 + 16t^3x^5 - 3t^4x^5 - 2t^5x^5$

Вынесем общий множитель $x^5$ за скобки:

$P(x, tx) = x^5 (12 - 32t + 9t^2 + 16t^3 - 3t^4 - 2t^5)$

Теперь разложим на множители многочлен от переменной $t$: $Q(t) = -2t^5 - 3t^4 + 16t^3 + 9t^2 - 32t + 12$.

Найдем рациональные корни этого многочлена. По теореме о рациональных корнях, возможные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель 12, а $q$ — делитель -2.

Проверкой убеждаемся, что корнями являются $t=1, t=2, t=-3, t=-2, t=1/2$.

Например, для $t=1$: $Q(1) = -2 - 3 + 16 + 9 - 32 + 12 = 37 - 37 = 0$.

Для $t=2$: $Q(2) = -2(32) - 3(16) + 16(8) + 9(4) - 32(2) + 12 = -64 - 48 + 128 + 36 - 64 + 12 = 176 - 176 = 0$.

Так как мы нашли 5 корней для многочлена 5-й степени, мы можем записать его разложение. Старший коэффициент многочлена $Q(t)$ равен -2.

$Q(t) = -2(t - 1)(t - 2)(t - (-3))(t - (-2))(t - 1/2)$

$Q(t) = -2(t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(t - 1/2)$

Умножим множитель $-2$ на скобку $(t - 1/2)$, чтобы избавиться от дроби:

$Q(t) = (t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(-2(t - 1/2)) = (t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(2 - 2t)$. Ошибка, должно быть $(1-2t)$ или $(2t-1)$ с минусом спереди.

Корректно: $-2(t - 1/2) = -2t + 1 = 1 - 2t$.

$Q(t) = (t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(1 - 2t)$.

Подставим разложение $Q(t)$ обратно в выражение для $P(x, tx)$:

$P(x, tx) = x^5 (t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(1 - 2t)$.

Теперь сделаем обратную подстановку $t = y/x$:

$P(x, y) = x^5 \left(\frac{y}{x} - 1\right) \left(\frac{y}{x} - 2\right) \left(\frac{y}{x} + 3\right) \left(\frac{y}{x} + 2\right) \left(1 - 2\frac{y}{x}\right)$

$P(x, y) = x^5 \left(\frac{y - x}{x}\right) \left(\frac{y - 2x}{x}\right) \left(\frac{y + 3x}{x}\right) \left(\frac{y + 2x}{x}\right) \left(\frac{x - 2y}{x}\right)$

Сократим множители $x$ в знаменателях с $x^5$:

$P(x, y) = (y - x)(y - 2x)(y + 3x)(y + 2x)(x - 2y)$.

Изменим знаки в первых двух скобках для стандартного вида и перегруппируем множители:

$P(x, y) = (-(x - y))(-(2x - y))(3x + y)(2x + y)(x - 2y) = (x - y)(2x - y)(x - 2y)(2x + y)(3x + y)$.

Ответ: $(x - y)(x - 2y)(2x - y)(2x + y)(3x + y)$.