Страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

343. Разложить на множители:

1) $(y - z)(y + z)^2 + (z - x)(z + x)^2 + (x - y)(x + y)^2;$

2) $x^6 - y^6 + (x^4 + x^2 y^2 + y^4);$

3) $x^8 + x^4 y^4 + y^8.$

1) $(y-z)(y+z)^2 + (z-x)(z+x)^2 + (x-y)(x+y)^2$

Для разложения на множители данного выражения сначала раскроем скобки для каждого слагаемого. Удобно использовать формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Первое слагаемое: $(y-z)(y+z)^2 = (y-z)(y+z)(y+z) = (y^2-z^2)(y+z) = y^3 + y^2z - yz^2 - z^3$.

Второе слагаемое получается из первого циклической заменой переменных $y \rightarrow z, z \rightarrow x$:
$(z-x)(z+x)^2 = z^3 + z^2x - zx^2 - x^3$.

Третье слагаемое получается из второго циклической заменой переменных $z \rightarrow x, x \rightarrow y$:
$(x-y)(x+y)^2 = x^3 + x^2y - xy^2 - y^3$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(y^3 + y^2z - yz^2 - z^3) + (z^3 + z^2x - zx^2 - x^3) + (x^3 + x^2y - xy^2 - y^3)$

После приведения подобных членов, все кубические степени взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$y^2z - yz^2 + z^2x - zx^2 + x^2y - xy^2$

Сгруппируем члены относительно переменной $x$:

$(y-z)x^2 + (z^2-y^2)x + (y^2z - yz^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(y-z)x^2 - (y^2-z^2)x + yz(y-z)$

Применим формулу разности квадратов $y^2-z^2 = (y-z)(y+z)$ ко второму слагаемому:

$(y-z)x^2 - (y-z)(y+z)x + yz(y-z)$

Вынесем общий множитель $(y-z)$ за скобки:

$(y-z)[x^2 - (y+z)x + yz]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках. Это квадратный трехчлен относительно $x$. Раскроем скобки внутри и сгруппируем:

$x^2 - yx - zx + yz = x(x-y) - z(x-y) = (x-y)(x-z)$

Таким образом, окончательное разложение на множители:

$(y-z)(x-y)(x-z)$

Ответ: $(y-z)(x-y)(x-z)$

2) $x^6 - y^6 + (x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Разложим на множители слагаемое $x^6 - y^6$. Это можно сделать, представив его как разность кубов: $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$.

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) + 1 \cdot (x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Видим, что $(x^4 + x^2y^2 + y^4)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$(x^4 + x^2y^2 + y^4)((x^2 - y^2) + 1) = (x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^2 - y^2 + 1)$

Теперь разложим на множители первый сомножитель $(x^4 + x^2y^2 + y^4)$. Для этого дополним его до полного квадрата, прибавив и отняв $x^2y^2$:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2$

Это разность квадратов $a^2-b^2=(

344. При каких значениях $a$ и $b$ многочлен $a(x^4 + y^4 + x^2y^2) + bxy(x^2 - y^2) + y^4$ делится на $(x+y)(2x-y)$?

Пусть $P(x, y) = a(x^4 + y^4 + x^2y^2) + bxy(x^2 - y^2) + y^4$.

Для того чтобы многочлен $P(x, y)$ делился на $(x+y)(2x-y)$, необходимо и достаточно, чтобы $P(x, y)$ обращался в ноль при всех значениях $x$ и $y$, для которых множители делителя равны нулю. Это происходит в двух случаях:

1. Когда $x+y=0$, то есть $y=-x$.

2. Когда $2x-y=0$, то есть $y=2x$.

Рассмотрим последовательно оба условия.

1. Условие делимости на $(x+y)$

Подставим $y=-x$ в многочлен $P(x, y)$ и приравняем его к нулю. Это должно выполняться для любого значения $x$.

$P(x, -x) = a(x^4 + (-x)^4 + x^2(-x)^2) + bx(-x)(x^2 - (-x)^2) + (-x)^4 = 0$

Упростим полученное выражение:

$a(x^4 + x^4 + x^4) - bx^2(x^2 - x^2) + x^4 = 0$

$a(3x^4) - bx^2(0) + x^4 = 0$

$3ax^4 + x^4 = 0$

$(3a+1)x^4 = 0$

Так как это равенство должно быть верным для любого $x$, коэффициент при $x^4$ должен быть равен нулю:

$3a+1=0$

$a = -\frac{1}{3}$

2. Условие делимости на $(2x-y)$

Аналогично, подставим $y=2x$ в многочлен $P(x, y)$ и приравняем его к нулю.

$P(x, 2x) = a(x^4 + (2x)^4 + x^2(2x)^2) + bx(2x)(x^2 - (2x)^2) + (2x)^4 = 0$

Упростим выражение:

$a(x^4 + 16x^4 + 4x^4) + 2bx^2(x^2 - 4x^2) + 16x^4 = 0$

$a(21x^4) + 2bx^2(-3x^2) + 16x^4 = 0$

$21ax^4 - 6bx^4 + 16x^4 = 0$

$(21a - 6b + 16)x^4 = 0$

Так как это равенство должно быть верным для любого $x$, коэффициент при $x^4$ должен быть равен нулю:

$21a - 6b + 16 = 0$

3. Нахождение значений $a$ и $b$

Мы получили систему из двух линейных уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a = -\frac{1}{3} \\ 21a - 6b + 16 = 0 \end{cases}$

Подставим значение $a = -1/3$ из первого уравнения во второе:

$21\left(-\frac{1}{3}\right) - 6b + 16 = 0$

$-7 - 6b + 16 = 0$

$9 - 6b = 0$

$6b = 9$

$b = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Таким образом, многочлен делится на $(x+y)(2x-y)$ при $a = -1/3$ и $b = 3/2$.

Ответ: $a = -\frac{1}{3}, b = \frac{3}{2}$.

345. Пусть $x_1, x_2, x_3$ — корни уравнения $x^3 + px + q = 0$. Доказать, что $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3$.

Поскольку $x_1$, $x_2$ и $x_3$ являются корнями уравнения $x^3 + px + q = 0$, то каждый из этих корней удовлетворяет данному уравнению. То есть, выполняются следующие равенства:

$x_1^3 + px_1 + q = 0$
$x_2^3 + px_2 + q = 0$
$x_3^3 + px_3 + q = 0$

Из этих равенств мы можем выразить кубы корней:

$x_1^3 = -px_1 - q$
$x_2^3 = -px_2 - q$
$x_3^3 = -px_3 - q$

Сложив эти три уравнения, получим выражение для суммы кубов корней:

$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (-px_1 - q) + (-px_2 - q) + (-px_3 - q)$
$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -p(x_1 + x_2 + x_3) - 3q$

Для дальнейшего преобразования воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения. В данном уравнении $x^3 + px + q = 0$ коэффициент при $x^2$ равен нулю. Согласно теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p$.
Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -q$.

Теперь подставим найденную сумму корней ($x_1 + x_2 + x_3 = 0$) в наше выражение для суммы кубов:

$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -p(0) - 3q = -3q$.

С другой стороны, выразим правую часть доказываемого тождества $3x_1x_2x_3$ через коэффициент $q$. Используя формулу Виета для произведения корней, имеем:

$3x_1x_2x_3 = 3(-q) = -3q$.

Таким образом, мы получили, что обе части доказываемого равенства равны одной и той же величине $-3q$:

$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3q$ и $3x_1x_2x_3 = -3q$.

Отсюда следует, что $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3$, что и требовалось доказать.

Альтернативный способ: можно воспользоваться известным алгебраическим тождеством $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$. Так как из формул Виета для нашего уравнения следует, что $x_1+x_2+x_3=0$, то правая часть этого тождества (при $a=x_1, b=x_2, c=x_3$) обращается в ноль. Следовательно, $x_1^3+x_2^3+x_3^3 - 3x_1x_2x_3 = 0$, что равносильно доказываемому равенству.

Ответ: Утверждение доказано.

346. Разложить на множители однородный многочлен $P(x, y)$, применив подстановку $y = tx$:

1) $P(x, y) = 15x^4 - 8x^3y + 31x^2y^2 - 16xy^3 + 2y^4$;

2) $P(x, y) = 12x^5 - 32x^4y + 9x^3y^2 + 16x^2y^3 - 3xy^4 - 2y^5$.

1) $P(x, y) = 15x^4 - 8x^3y + 31x^2y^2 - 16xy^3 + 2y^4$

Данный многочлен является однородным многочленом четвертой степени, так как сумма степеней переменных в каждом его члене равна 4.

Применим подстановку $y = tx$.

$P(x, tx) = 15x^4 - 8x^3(tx) + 31x^2(tx)^2 - 16x(tx)^3 + 2(tx)^4$

$P(x, tx) = 15x^4 - 8tx^4 + 31t^2x^4 - 16t^3x^4 + 2t^4x^4$

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$P(x, tx) = x^4 (15 - 8t + 31t^2 - 16t^3 + 2t^4)$

Теперь разложим на множители многочлен от переменной $t$: $Q(t) = 2t^4 - 16t^3 + 31t^2 - 8t + 15$.

Найдем корни этого многочлена. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

Проверим $t=3$: $Q(3) = 2(3^4) - 16(3^3) + 31(3^2) - 8(3) + 15 = 2 \cdot 81 - 16 \cdot 27 + 31 \cdot 9 - 24 + 15 = 162 - 432 + 279 - 24 + 15 = 456 - 456 = 0$. Значит, $t=3$ является корнем, и $(t-3)$ — один из множителей.

Разделим многочлен $Q(t)$ на $(t-3)$ (например, по схеме Горнера):

$(2t^4 - 16t^3 + 31t^2 - 8t + 15) \div (t-3) = 2t^3 - 10t^2 + t - 5$.

Теперь разложим на множители кубический многочлен $2t^3 - 10t^2 + t - 5$ методом группировки:

$2t^3 - 10t^2 + t - 5 = 2t^2(t - 5) + 1(t - 5) = (2t^2 + 1)(t - 5)$.

Таким образом, $Q(t) = (t - 3)(t - 5)(2t^2 + 1)$.

Подставим разложение $Q(t)$ обратно в выражение для $P(x, tx)$:

$P(x, tx) = x^4 (t - 3)(t - 5)(2t^2 + 1)$.

Теперь сделаем обратную подстановку $t = y/x$:

$P(x, y) = x^4 \left(\frac{y}{x} - 3\right) \left(\frac{y}{x} - 5\right) \left(2\left(\frac{y}{x}\right)^2 + 1\right)$

$P(x, y) = x^4 \left(\frac{y - 3x}{x}\right) \left(\frac{y - 5x}{x}\right) \left(\frac{2y^2 + x^2}{x^2}\right)$

Сократим множители $x$ в знаменателях с $x^4$:

$P(x, y) = (y - 3x)(y - 5x)(x^2 + 2y^2)$.

Для удобства записи изменим знаки в первых двух скобках:

$P(x, y) = (-(3x - y))(-(5x - y))(x^2 + 2y^2) = (3x - y)(5x - y)(x^2 + 2y^2)$.

Ответ: $(3x - y)(5x - y)(x^2 + 2y^2)$.

2) $P(x, y) = 12x^5 - 32x^4y + 9x^3y^2 + 16x^2y^3 - 3xy^4 - 2y^5$

Данный многочлен является однородным многочленом пятой степени, так как сумма степеней переменных в каждом его члене равна 5.

Применим подстановку $y = tx$.

$P(x, tx) = 12x^5 - 32x^4(tx) + 9x^3(tx)^2 + 16x^2(tx)^3 - 3x(tx)^4 - 2(tx)^5$

$P(x, tx) = 12x^5 - 32tx^5 + 9t^2x^5 + 16t^3x^5 - 3t^4x^5 - 2t^5x^5$

Вынесем общий множитель $x^5$ за скобки:

$P(x, tx) = x^5 (12 - 32t + 9t^2 + 16t^3 - 3t^4 - 2t^5)$

Теперь разложим на множители многочлен от переменной $t$: $Q(t) = -2t^5 - 3t^4 + 16t^3 + 9t^2 - 32t + 12$.

Найдем рациональные корни этого многочлена. По теореме о рациональных корнях, возможные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель 12, а $q$ — делитель -2.

Проверкой убеждаемся, что корнями являются $t=1, t=2, t=-3, t=-2, t=1/2$.

Например, для $t=1$: $Q(1) = -2 - 3 + 16 + 9 - 32 + 12 = 37 - 37 = 0$.

Для $t=2$: $Q(2) = -2(32) - 3(16) + 16(8) + 9(4) - 32(2) + 12 = -64 - 48 + 128 + 36 - 64 + 12 = 176 - 176 = 0$.

Так как мы нашли 5 корней для многочлена 5-й степени, мы можем записать его разложение. Старший коэффициент многочлена $Q(t)$ равен -2.

$Q(t) = -2(t - 1)(t - 2)(t - (-3))(t - (-2))(t - 1/2)$

$Q(t) = -2(t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(t - 1/2)$

Умножим множитель $-2$ на скобку $(t - 1/2)$, чтобы избавиться от дроби:

$Q(t) = (t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(-2(t - 1/2)) = (t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(2 - 2t)$. Ошибка, должно быть $(1-2t)$ или $(2t-1)$ с минусом спереди.

Корректно: $-2(t - 1/2) = -2t + 1 = 1 - 2t$.

$Q(t) = (t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(1 - 2t)$.

Подставим разложение $Q(t)$ обратно в выражение для $P(x, tx)$:

$P(x, tx) = x^5 (t - 1)(t - 2)(t + 3)(t + 2)(1 - 2t)$.

Теперь сделаем обратную подстановку $t = y/x$:

$P(x, y) = x^5 \left(\frac{y}{x} - 1\right) \left(\frac{y}{x} - 2\right) \left(\frac{y}{x} + 3\right) \left(\frac{y}{x} + 2\right) \left(1 - 2\frac{y}{x}\right)$

$P(x, y) = x^5 \left(\frac{y - x}{x}\right) \left(\frac{y - 2x}{x}\right) \left(\frac{y + 3x}{x}\right) \left(\frac{y + 2x}{x}\right) \left(\frac{x - 2y}{x}\right)$

Сократим множители $x$ в знаменателях с $x^5$:

$P(x, y) = (y - x)(y - 2x)(y + 3x)(y + 2x)(x - 2y)$.

Изменим знаки в первых двух скобках для стандартного вида и перегруппируем множители:

$P(x, y) = (-(x - y))(-(2x - y))(3x + y)(2x + y)(x - 2y) = (x - y)(2x - y)(x - 2y)(2x + y)(3x + y)$.

Ответ: $(x - y)(x - 2y)(2x - y)(2x + y)(3x + y)$.

347. Доказать тождество $(x + y)^5 - x^5 - y^5 = 5xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)$.

Для доказательства тождества $(x + y)^5 - x^5 - y^5 = 5xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)$ преобразуем его левую часть (Л.Ч.).

1. Раскроем $(x + y)^5$ по формуле бинома Ньютона:

$(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$

2. Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

Л.Ч. = $(x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5) - x^5 - y^5$

3. Сократим подобные слагаемые:

Л.Ч. = $5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4$

4. Вынесем общий множитель $5xy$ за скобки:

Л.Ч. = $5xy(x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3)$

5. Разложим на множители выражение в скобках, сгруппировав слагаемые:

$x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3 = (x^3 + y^3) + (2x^2y + 2xy^2)$

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к первой группе и вынесем общий множитель $2xy$ во второй:

$(x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x+y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x+y)[(x^2 - xy + y^2) + 2xy]$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x+y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy) = (x+y)(x^2 + xy + y^2)$

6. Подставим полученный результат обратно в выражение для левой части:

Л.Ч. = $5xy(x+y)(x^2 + xy + y^2)$

Мы видим, что преобразованная левая часть полностью совпадает с правой частью (П.Ч.) исходного выражения. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Путем алгебраических преобразований левая часть $(x + y)^5 - x^5 - y^5$ была приведена к виду $5xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)$, что полностью совпадает с правой частью, и, следовательно, доказывает верность тождества.