Страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

330. С помощью следствий из теоремы Безу выполнить деление двучленов $x^k \pm a^n$ на $x \pm a$:

1) $(243x^5 - 32) : (3x - 2);$

2) $(a^4x^4 - b^4) : (ax - b);$

3) $(x^{30} + 1) : (x^5 + 1);$

4) $(\frac{3}{8}a^6 + 8b^{12}) : (1,5a^2 + 2b^4).$

1) Чтобы выполнить деление $(243x^5 - 32) : (3x - 2)$, представим делимое в виде разности пятых степеней. Поскольку $243 = 3^5$ и $32 = 2^5$, имеем $243x^5 - 32 = (3x)^5 - 2^5$.Сделаем замену: пусть $A = 3x$ и $B = 2$. Тогда задача сводится к делению $(A^5 - B^5)$ на $(A - B)$.Воспользуемся формулой разности степеней, которая является следствием из теоремы Безу:$A^n - B^n = (A - B)(A^{n-1} + A^{n-2}B + A^{n-3}B^2 + \dots + B^{n-1})$.При $n=5$:$A^5 - B^5 = (A - B)(A^4 + A^3B + A^2B^2 + AB^3 + B^4)$.Следовательно, частное от деления равно многочлену $A^4 + A^3B + A^2B^2 + AB^3 + B^4$.Выполним обратную подстановку, заменив $A$ на $3x$ и $B$ на $2$:$(3x)^4 + (3x)^3 \cdot 2 + (3x)^2 \cdot 2^2 + (3x) \cdot 2^3 + 2^4$$= 81x^4 + (27x^3) \cdot 2 + (9x^2) \cdot 4 + 3x \cdot 8 + 16$$= 81x^4 + 54x^3 + 36x^2 + 24x + 16$.

Ответ: $81x^4 + 54x^3 + 36x^2 + 24x + 16$.

2) Для выполнения деления $(a^4x^4 - b^4) : (ax - b)$ представим делимое как разность четвертых степеней: $a^4x^4 - b^4 = (ax)^4 - b^4$.Сделаем замену: пусть $A = ax$ и $B = b$. Тогда выражение принимает вид $(A^4 - B^4) : (A - B)$.Используем формулу разности степеней для $n=4$:$A^4 - B^4 = (A - B)(A^3 + A^2B + AB^2 + B^3)$.Частное от деления равно $A^3 + A^2B + AB^2 + B^3$.Выполним обратную подстановку, заменив $A$ на $ax$ и $B$ на $b$:$(ax)^3 + (ax)^2 \cdot b + (ax) \cdot b^2 + b^3 = a^3x^3 + a^2x^2b + ab^2x + b^3$.

Ответ: $a^3x^3 + a^2bx^2 + ab^2x + b^3$.

3) Чтобы выполнить деление $(x^{30} + 1) : (x^5 + 1)$, сделаем замену переменной: пусть $y = x^5$.Тогда делимое равно $x^{30} + 1 = (x^5)^6 + 1 = y^6 + 1$.Делитель равен $x^5 + 1 = y + 1$.Задача сводится к делению многочлена $P(y) = y^6 + 1$ на $y + 1$.Согласно следствию из теоремы Безу, остаток от деления многочлена $P(y)$ на двучлен $(y - c)$ равен $P(c)$. В нашем случае делитель $y+1 = y - (-1)$, то есть $c = -1$.Найдем остаток: $P(-1) = (-1)^6 + 1 = 1 + 1 = 2$.Поскольку остаток не равен нулю, деление нацело невозможно. Чтобы найти неполное частное, представим делимое в виде $y^6 + 1 = (y^6 - 1) + 2$.Теперь деление можно записать как $\frac{y^6 + 1}{y + 1} = \frac{(y^6 - 1) + 2}{y + 1} = \frac{y^6 - 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1}$.Выражение $y^n - a^n$ при четном $n$ делится на $y+a$. Для $n=6$ и $a=1$ частное от деления $(y^6 - 1)$ на $(y + 1)$ равно $y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1$.Таким образом, неполное частное исходного выражения равно $y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1$, а остаток равен $2$.Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^5$:Неполное частное: $(x^5)^5 - (x^5)^4 + (x^5)^3 - (x^5)^2 + x^5 - 1 = x^{25} - x^{20} + x^{15} - x^{10} + x^5 - 1$.Остаток: $2$.

Ответ: неполное частное $x^{25} - x^{20} + x^{15} - x^{10} + x^5 - 1$, остаток $2$.

4) Выполним деление $(3\frac{3}{8}a^6 + 8b^{12}) : (1,5a^2 + 2b^4)$.Сначала преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби: $3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$ и $1,5 = \frac{3}{2}$.Выражение для деления принимает вид: $(\frac{27}{8}a^6 + 8b^{12}) : (\frac{3}{2}a^2 + 2b^4)$.Представим делимое в виде суммы кубов.$\frac{27}{8}a^6 = (\frac{3}{2}a^2)^3$$8b^{12} = (2b^4)^3$Таким образом, делимое равно $(\frac{3}{2}a^2)^3 + (2b^4)^3$.Сделаем замену: $A = \frac{3}{2}a^2$ и $B = 2b^4$.Делитель тогда равен $A+B$.Выражение принимает вид $(A^3 + B^3) : (A + B)$.Показатель степени $n=3$ — нечетное число, поэтому можно использовать формулу суммы кубов:$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.Частное от деления равно $A^2 - AB + B^2$.Подставим обратно значения $A$ и $B$:$(\frac{3}{2}a^2)^2 - (\frac{3}{2}a^2)(2b^4) + (2b^4)^2 = \frac{9}{4}a^4 - 3a^2b^4 + 4b^8$.

Ответ: $\frac{9}{4}a^4 - 3a^2b^4 + 4b^8$.

331. Каким должно быть целое число $n$, чтобы числа вида $10^n + 1$ делились на 11?

Для того чтобы число вида $10^n + 1$ делилось нацело на 11, необходимо и достаточно, чтобы оно было сравнимо с нулем по модулю 11. Запишем это условие в виде сравнения:

$10^n + 1 \equiv 0 \pmod{11}$

Перенесем 1 в правую часть сравнения:

$10^n \equiv -1 \pmod{11}$

Теперь рассмотрим основание степени, число 10. При делении на 11 число 10 дает в остатке 10, что также можно представить как остаток -1, поскольку $10 = 1 \cdot 11 - 1$. Таким образом, мы можем записать:

$10 \equiv -1 \pmod{11}$

Подставим это значение в наше сравнение для степеней:

$(-1)^n \equiv -1 \pmod{11}$

Проанализируем, при каких целых значениях $n$ это сравнение будет верным.

1. Если $n$ — четное число, то есть $n = 2k$ для некоторого целого $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$. Сравнение принимает вид $1 \equiv -1 \pmod{11}$, что равносильно $2 \equiv 0 \pmod{11}$. Это неверно, так как 2 не делится на 11.

2. Если $n$ — нечетное число, то есть $n = 2k + 1$ для некоторого целого $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1$. Сравнение принимает вид $-1 \equiv -1 \pmod{11}$. Это тождество, которое верно всегда.

Следовательно, показатель степени $n$ должен быть нечетным целым числом.

В задаче указано, что $n$ — целое число. Однако, чтобы выражение $10^n+1$ было целым числом (что необходимо для постановки вопроса о делимости нацело), $n$ должно быть неотрицательным ($n \ge 0$). Если $n$ — отрицательное число (например, $n=-1$), то $10^{-1}+1 = 0.1+1=1.1$ — это дробное число, и вопрос о его делимости на 11 в целых числах не имеет смысла.

Итак, мы ищем числа $n$, которые являются одновременно неотрицательными и нечетными. Поскольку 0 — четное число, оно нам не подходит. Значит, $n$ должно быть положительным нечетным числом, то есть нечетным натуральным числом.

Ответ: $n$ должно быть любым нечетным натуральным числом. Это можно записать в виде $n = 2k - 1$, где $k$ — любое натуральное число ($k \in \mathbb{N}$), или $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$).

332. Каким должно быть целое число $n$, чтобы числа вида $7^n - 1$ делились на 8 и 6?

Для того чтобы число вида $7^n - 1$ делилось на 8 и 6, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем НОК(8, 6):
$8 = 2^3$
$6 = 2 \cdot 3$
НОК(8, 6) = $2^3 \cdot 3 = 24$.

Таким образом, задача сводится к нахождению таких целых $n$, при которых $7^n - 1$ делится на 24. Это эквивалентно выполнению двух условий одновременно:
1. $7^n - 1$ делится на 8.
2. $7^n - 1$ делится на 3.

Прежде всего, отметим, что для того, чтобы выражение $7^n - 1$ было целым числом и к нему было применимо понятие делимости, $n$ должно быть неотрицательным целым числом. Если $n$ — отрицательное целое число, например $n = -k$ где $k > 0$, то $7^n - 1 = 7^{-k} - 1 = \frac{1}{7^k} - 1 = \frac{1-7^k}{7^k}$. Это выражение не является целым числом при $k>0$. При $n=0$, $7^0-1=0$, что является целым числом. Следовательно, будем рассматривать $n \ge 0$.

Рассмотрим условие, что $7^n - 1$ делится на 8. В терминах сравнений по модулю это можно записать как:
$7^n - 1 \equiv 0 \pmod{8}$
$7^n \equiv 1 \pmod{8}$

Заметим, что $7 \equiv -1 \pmod{8}$. Тогда:
$7^n \equiv (-1)^n \pmod{8}$

Чтобы сравнение $7^n \equiv 1 \pmod{8}$ выполнялось, необходимо, чтобы $(-1)^n = 1$. Это возможно только в том случае, когда показатель степени $n$ является четным числом.
Таким образом, для делимости на 8, $n$ должно быть четным неотрицательным целым числом.

Рассмотрим условие, что $7^n - 1$ делится на 6. Это означает, что $7^n-1$ должно делиться на 2 и на 3.

Делимость на 2:
Число 7 является нечетным. Любая неотрицательная степень нечетного числа ($7^0=1$, $7^1=7$ и т.д.) является нечетным числом. Значит, $7^n$ — нечетное число при любом $n \ge 0$. Разность нечетного числа и единицы ($7^n - 1$) всегда является четным числом, то есть делится на 2. Это условие выполняется для любого неотрицательного целого $n$.

Делимость на 3:
Рассмотрим делимость на 3. Запишем это в виде сравнения:
$7^n - 1 \equiv 0 \pmod{3}$
$7^n \equiv 1 \pmod{3}$

Так как $7 = 2 \cdot 3 + 1$, то $7 \equiv 1 \pmod{3}$. Возводя обе части сравнения в степень $n$, получаем:
$7^n \equiv 1^n \pmod{3}$
$7^n \equiv 1 \pmod{3}$

Это сравнение верно для любого неотрицательного целого числа $n$. Следовательно, $7^n - 1$ всегда делится на 3 при $n \ge 0$.
Таким образом, для делимости на 6, $n$ может быть любым неотрицательным целым числом.

Итак, мы установили, что для делимости на 8, число $n$ должно быть четным неотрицательным целым, а для делимости на 6, $n$ может быть любым неотрицательным целым числом.

Чтобы число $7^n - 1$ делилось и на 8, и на 6 одновременно, необходимо, чтобы выполнялись оба условия. Пересечением этих двух условий является требование, чтобы $n$ было четным неотрицательным целым числом.

Это можно записать в виде формулы: $n = 2k$, где $k$ — любое неотрицательное целое число ($k = 0, 1, 2, 3, \ldots$).

Проверка: если $n$ четное, то $n=2k$ для некоторого $k \ge 0$.
$7^n - 1 = 7^{2k} - 1 = (7^2)^k - 1 = 49^k - 1$.
Используя формулу разности степеней $a^k-b^k = (a-b)(a^{k-1} + \dots + b^{k-1})$, получаем:
$49^k - 1 = (49-1)(49^{k-1} + 49^{k-2} + \dots + 1) = 48 \cdot (\text{сумма})$.
Так как 48 делится на 24 (поскольку $48 = 2 \cdot 24$), то и выражение $7^n - 1$ делится на 24 для любого четного $n>0$. При $n=0$ (что является четным числом), имеем $7^0-1 = 0$, что также делится на 24. Заключение верно.

Ответ: $n$ должно быть любым четным неотрицательным целым числом, то есть $n=2k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

333. Доказать, что многочлен $(x^{n-1} - 1)(x^n - 1)(x^{n+1} - 1)$, где $n \in N$, делится на произведение $(x-1)(x^2-1)(x^3-1)$.

Для доказательства того, что многочлен $P(x) = (x^{n-1}-1)(x^n-1)(x^{n+1}-1)$, где $n \in \mathbb{N}$, делится на произведение $Q(x) = (x-1)(x^2-1)(x^3-1)$, необходимо показать, что частное $\frac{P(x)}{Q(x)}$ является многочленом.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $n=1$

При $n=1$ многочлен $P(x)$ принимает вид: $P(x) = (x^{1-1}-1)(x^1-1)(x^{1+1}-1) = (x^0-1)(x-1)(x^2-1) = (1-1)(x-1)(x^2-1) = 0$.

Нулевой многочлен делится на любой другой многочлен, не равный тождественно нулю. Так как $Q(x)$ не является нулевым многочленом, утверждение для $n=1$ верно.

Случай 2: $n \ge 2$

Для удобства введем обозначение для многочлена $[k]_x = \frac{x^k-1}{x-1} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1}$. Тогда любой многочлен вида $x^k-1$ можно представить как $(x-1)[k]_x$.

Перепишем делимое $P(x)$ и делитель $Q(x)$ в новых обозначениях.

$P(x) = \left((x-1)[n-1]_x\right) \left((x-1)[n]_x\right) \left((x-1)[n+1]_x\right) = (x-1)^3 [n-1]_x [n]_x [n+1]_x$.

$Q(x) = (x-1) \cdot (x^2-1) \cdot (x^3-1) = (x-1) \cdot \left((x-1)[2]_x\right) \cdot \left((x-1)[3]_x\right) = (x-1)^3 [2]_x [3]_x$.

Теперь рассмотрим их частное: $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{(x-1)^3 [n-1]_x [n]_x [n+1]_x}{(x-1)^3 [2]_x [3]_x} = \frac{[n-1]_x [n]_x [n+1]_x}{[2]_x [3]_x}$.

Чтобы доказать, что это частное является многочленом, нужно показать, что многочлен в числителе $[n-1]_x [n]_x [n+1]_x$ делится на каждый из многочленов в знаменателе: $[2]_x$ и $[3]_x$.

Многочлены $[2]_x = x+1$ и $[3]_x = x^2+x+1$ являются взаимно простыми (у них нет общих корней), поэтому достаточно доказать делимость на каждый из них в отдельности.

1. Делимость на $[2]_x = x+1$

Многочлен $[k]_x$ делится на $[2]_x = x+1$ тогда и только тогда, когда корень многочлена $x+1$, то есть $x=-1$, является корнем $[k]_x$. Проверим значение $[k]_x$ при $x=-1$: $[k]_{-1} = 1 + (-1) + (-1)^2 + \dots + (-1)^{k-1}$. Эта сумма равна 0, если $k$ — четное число, и 1, если $k$ — нечетное. Следовательно, $[k]_x$ делится на $[2]_x$ тогда и только тогда, когда $k$ является четным числом.

Числитель представляет собой произведение $[n-1]_x [n]_x [n+1]_x$. Числа $n-1, n, n+1$ — это три последовательных целых числа. Среди любых трех последовательных целых чисел обязательно есть хотя бы одно четное число. Пусть это число — $k_{even}$. Тогда соответствующий множитель $[k_{even}]_x$ в числителе будет делиться на $[2]_x$, а значит, и всё произведение будет делиться на $[2]_x$.

2. Делимость на $[3]_x = x^2+x+1$

Многочлен $[k]_x$ делится на $[3]_x = x^2+x+1$ тогда и только тогда, когда корни многочлена $x^2+x+1$ являются корнями $[k]_x$. Корни $x^2+x+1=0$ — это комплексные кубические корни из единицы $\omega$ и $\omega^2$, где $\omega^3=1$ и $\omega \ne 1$.

Проверим значение $[k]_x$ при $x=\omega$: $[k]_{\omega} = \frac{\omega^k-1}{\omega-1}$. Поскольку $\omega-1 \ne 0$, значение $[k]_\omega$ равно нулю тогда и только тогда, когда $\omega^k - 1 = 0$, то есть $\omega^k=1$. Это условие выполняется, если $k$ является кратным 3.

Числа $n-1, n, n+1$ — это три последовательных целых числа. Среди любых трех последовательных целых чисел обязательно есть ровно одно, кратное 3. Пусть это число — $k_{mult3}$. Тогда соответствующий множитель $[k_{mult3}]_x$ в числителе будет делиться на $[3]_x$, а значит, и всё произведение будет делиться на $[3]_x$.

Поскольку произведение $[n-1]_x [n]_x [n+1]_x$ делится на взаимно простые многочлены $[2]_x$ и $[3]_x$, оно делится и на их произведение $[2]_x [3]_x$.

Таким образом, частное $\frac{[n-1]_x [n]_x [n+1]_x}{[2]_x [3]_x}$ является многочленом для любого $n \ge 2$.

Мы рассмотрели все натуральные $n$ и показали, что в каждом случае делимость выполняется.

Ответ: Утверждение доказано.