gdz.top
Номер 352, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения. §9. Формулы сокращённого умножения для старших степеней. Бином Ньютона - номер 352, страница 126.
№351
№352 (с. 126)
Условие. №352 (с. 126)
352. Доказать, что сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения бинома $(x + a)^n$ равна $2^n$.
Решение 1. №352 (с. 126)
Решение 2. №352 (с. 126)
Решение 3. №352 (с. 126)
Решение 4. №352 (с. 126)
Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая определяет разложение степени двучлена $(x+a)^n$:
$(x+a)^n = C_n^0 x^n a^0 + C_n^1 x^{n-1} a^1 + C_n^2 x^{n-2} a^2 + \dots + C_n^k x^{n-k} a^k + \dots + C_n^n x^0 a^n$
Или в более компактной форме с использованием знака суммирования:
$(x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} a^k$
Здесь $C_n^k$ (где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$) — это биномиальные коэффициенты. Нам необходимо доказать, что сумма всех этих коэффициентов равна $2^n$. То есть, нам нужно доказать равенство:
$S = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$
Чтобы получить эту сумму из формулы бинома Ньютона, достаточно подставить в нее такие значения $x$ и $a$, при которых множители $x^{n-k}a^k$ будут равны единице для всех $k$ от 0 до $n$. Это достигается, если положить $x=1$ и $a=1$.
Подставим $x=1$ и $a=1$ в формулу разложения бинома.
Левая часть равенства примет вид:
$(1+1)^n = 2^n$
Правая часть равенства примет вид:
$\sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (1)^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1 \cdot 1 = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$
Раскрывая знак суммы, получаем:
$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$
Приравнивая левую и правую части, мы получаем искомое тождество:
$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$
Таким образом, мы доказали, что сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения бинома $(x+a)^n$ действительно равна $2^n$.
Ответ: Утверждение доказывается с помощью формулы бинома Ньютона $(x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} a^k$. При подстановке в это тождество значений $x=1$ и $a=1$ оно принимает вид $(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$, откуда следует, что $2^n = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 352 расположенного на странице 126 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №352 (с. 126), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.