Номер 349, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

349. Найти пятый член разложения:

1) $ (\sqrt{x}+x)^{10} $

2) $ (x-\frac{1}{x})^{13} $

3) $ (2+\sqrt{x})^{9} $

Для нахождения $(k+1)$-го члена разложения бинома $(a+b)^n$ используется формула бинома Ньютона: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$.

В задании требуется найти пятый член разложения $(\sqrt{x} + x)^{10}$. Это означает, что $k+1=5$, откуда $k=4$. Параметры для формулы: $n=10$, $a = \sqrt{x}$, $b = x$.

Подставляем значения в формулу для пятого члена ($T_5$):

$T_5 = C_{10}^4 (\sqrt{x})^{10-4} x^4 = C_{10}^4 (\sqrt{x})^6 x^4$.

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^4$:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$.

Теперь упростим выражение с переменной $x$:

$(\sqrt{x})^6 \cdot x^4 = (x^{1/2})^6 \cdot x^4 = x^{3} \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7$.

Таким образом, пятый член разложения равен:

$T_5 = 210x^7$.

Ответ: $210x^7$.

Находим пятый член разложения $(x - \frac{1}{x})^{13}$. Используем ту же формулу для $(k+1)$-го члена, где $k+1=5$, т.е. $k=4$.

Параметры бинома: $n=13$, $a=x$, $b = -\frac{1}{x}$.

Подставляем значения в формулу для пятого члена ($T_5$):

$T_5 = C_{13}^4 (x)^{13-4} (-\frac{1}{x})^4 = C_{13}^4 x^9 (\frac{1}{x})^4$.

Так как степень для $b$ четная ($4$), знак минус исчезает: $(-1)^4 = 1$.

Вычисляем биномиальный коэффициент $C_{13}^4$:

$C_{13}^4 = \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13!}{4!9!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 5 \cdot 11 = 715$.

Упрощаем степени $x$:

$x^9 \cdot (\frac{1}{x})^4 = x^9 \cdot x^{-4} = x^{9-4} = x^5$.

Таким образом, пятый член разложения равен:

$T_5 = 715x^5$.

Ответ: $715x^5$.

Находим пятый член разложения $(2 + \sqrt{x})^9$. Здесь $k+1=5$, т.е. $k=4$.

Параметры бинома: $n=9$, $a=2$, $b = \sqrt{x}$.

Подставляем значения в формулу для пятого члена ($T_5$):

$T_5 = C_9^4 (2)^{9-4} (\sqrt{x})^4 = C_9^4 \cdot 2^5 \cdot (\sqrt{x})^4$.

Вычисляем биномиальный коэффициент $C_9^4$:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$.

Вычисляем остальные числовые и степенные части:

$2^5 = 32$.

$(\sqrt{x})^4 = (x^{1/2})^4 = x^{4/2} = x^2$.

Перемножаем все компоненты:

$T_5 = 126 \cdot 32 \cdot x^2 = 4032x^2$.

Ответ: $4032x^2$.