Номер 342, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

342. Решить уравнение $x^3 + 3\sqrt{2}x^2 + 5x + \sqrt{2} = 0$, если известно, что произведение двух его корней равно 1.

Для решения кубического уравнения $x^3 + 3\sqrt{2}x^2 + 5x + \sqrt{2} = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Пусть $x_1$, $x_2$ и $x_3$ — корни данного уравнения. Для общего вида кубического уравнения $ax^3+bx^2+cx+d=0$ справедливы следующие соотношения между его корнями и коэффициентами:

$x_1 + x_2 + x_3 = -b/a$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = c/a$

$x_1x_2x_3 = -d/a$

В нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=3\sqrt{2}$, $c=5$, $d=\sqrt{2}$. Следовательно, формулы Виета для данного уравнения выглядят так:

$x_1 + x_2 + x_3 = -3\sqrt{2}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 5$

$x_1x_2x_3 = -\sqrt{2}$

По условию задачи известно, что произведение двух корней равно 1. Пусть это будут корни $x_1$ и $x_2$, то есть $x_1x_2 = 1$. Подставим это значение в третье соотношение Виета:

$(x_1x_2) \cdot x_3 = -\sqrt{2}$

$1 \cdot x_3 = -\sqrt{2}$

$x_3 = -\sqrt{2}$

Итак, один из корней найден: $x_3 = -\sqrt{2}$. Чтобы найти два других корня, можно разделить исходный многочлен на двучлен $(x - x_3)$, то есть на $(x + \sqrt{2})$, поскольку корень $x_3$ обращает многочлен в ноль. Выполнение деления многочленов (например, столбиком) приводит к следующему результату:

$(x^3 + 3\sqrt{2}x^2 + 5x + \sqrt{2}) \div (x + \sqrt{2}) = x^2 + 2\sqrt{2}x + 1$

Теперь необходимо решить полученное квадратное уравнение $x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$, чтобы найти оставшиеся корни $x_1$ и $x_2$. Для нахождения его корней воспользуемся стандартной формулой. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 8 - 4 = 4$

Теперь находим корни:

$x = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{2} \pm 2}{2} = -\sqrt{2} \pm 1$

Таким образом, остальные два корня равны $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$. Все три корня уравнения найдены.

Ответ: $-\sqrt{2}$; $1 - \sqrt{2}$; $-1 - \sqrt{2}$.