Номер 341, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

341. Составить уравнение четвёртой степени со старшим коэффициентом, равным 1, корни которого противоположны корням уравнения $x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15 = 0$.

Составление уравнения с противоположными корнями

Пусть дано исходное уравнение $P(x) = x⁴ + 2x³ - 16x² - 2x + 15 = 0$. Обозначим его корни как $x_1, x_2, x_3, x_4$.

Требуется составить новое уравнение четвёртой степени $Q(y) = 0$ со старшим коэффициентом, равным 1, корни которого, обозначим их $y_1, y_2, y_3, y_4$, будут противоположны корням исходного уравнения. Это означает, что для каждого корня $x_i$ исходного уравнения выполняется равенство $y_i = -x_i$ для соответствующего корня $y_i$ нового уравнения.

Из соотношения $y = -x$ следует, что $x = -y$. Если $x$ является корнем исходного уравнения, то есть $P(x)=0$, то $y=-x$ будет корнем нового уравнения. Чтобы найти это новое уравнение, достаточно подставить $x = -y$ в исходное.

Выполним подстановку $x = -y$ в уравнение $x⁴ + 2x³ - 16x² - 2x + 15 = 0$: $$(-y)⁴ + 2(-y)³ - 16(-y)² - 2(-y) + 15 = 0$$

Теперь упростим полученное выражение. Общее правило гласит, что при замене $x$ на $-x$ коэффициенты при нечётных степенях переменной меняют знак, а коэффициенты при чётных степенях остаются без изменений.

Проверим это:
Член с $x⁴$: $(-y)⁴ = y⁴$. Знак не меняется.
Член с $x³$: $2(-y)³ = 2(-y³) = -2y³$. Знак меняется.
Член с $x²$: $-16(-y)² = -16(y²) = -16y²$. Знак не меняется.
Член с $x$: $-2(-y) = 2y$. Знак меняется.
Свободный член (соответствует $x⁰$): $15$. Знак не меняется.

Собрав все члены вместе, получаем уравнение для $y$: $$y⁴ - 2y³ - 16y² + 2y + 15 = 0$$

Это уравнение является уравнением четвёртой степени, его старший коэффициент равен 1, и его корни по построению противоположны корням исходного уравнения. Для итоговой записи, как правило, используется переменная $x$, поэтому просто заменим $y$ на $x$.

Ответ: $x⁴ - 2x³ - 16x² + 2x + 15 = 0$