Номер 348, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

348. Записать разложение бинома:

1) $(a-2b)^6$;

2) $(1+\sqrt{2})^5$;

3) $(1+2x)^5$;

4) $(x+\frac{1}{2x})^8$.

Для решения всех пунктов используется формула разложения бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + \dots + C_n^n a^0 b^n$,

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

1) $(a-2b)^6$

В этом случае $a$ в формуле — это $a$, $b$ в формуле — это $(-2b)$, а $n=6$.

Вычислим биномиальные коэффициенты для $n=6$:

$C_6^0 = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$C_6^4 = C_6^2 = 15$

$C_6^5 = C_6^1 = 6$

$C_6^6 = 1$

Теперь подставим все значения в формулу разложения:

$(a-2b)^6 = C_6^0 a^6 (-2b)^0 + C_6^1 a^5 (-2b)^1 + C_6^2 a^4 (-2b)^2 + C_6^3 a^3 (-2b)^3 + C_6^4 a^2 (-2b)^4 + C_6^5 a^1 (-2b)^5 + C_6^6 a^0 (-2b)^6$

$= 1 \cdot a^6 \cdot 1 + 6 \cdot a^5 \cdot (-2b) + 15 \cdot a^4 \cdot (4b^2) + 20 \cdot a^3 \cdot (-8b^3) + 15 \cdot a^2 \cdot (16b^4) + 6 \cdot a \cdot (-32b^5) + 1 \cdot 1 \cdot (64b^6)$

$= a^6 - 12a^5b + 60a^4b^2 - 160a^3b^3 + 240a^2b^4 - 192ab^5 + 64b^6$

Ответ: $a^6 - 12a^5b + 60a^4b^2 - 160a^3b^3 + 240a^2b^4 - 192ab^5 + 64b^6$

2) $(1+\sqrt{2})^5$

Здесь $a=1$, $b=\sqrt{2}$, $n=5$.

Биномиальные коэффициенты для $n=5$:

$C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$, $C_5^5=1$.

Подставим в формулу:

$(1+\sqrt{2})^5 = C_5^0 \cdot 1^5 (\sqrt{2})^0 + C_5^1 \cdot 1^4 (\sqrt{2})^1 + C_5^2 \cdot 1^3 (\sqrt{2})^2 + C_5^3 \cdot 1^2 (\sqrt{2})^3 + C_5^4 \cdot 1^1 (\sqrt{2})^4 + C_5^5 \cdot 1^0 (\sqrt{2})^5$

Так как $1$ в любой степени равен $1$, упростим выражение:

$= 1 \cdot 1 + 5 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot (\sqrt{2})^2 + 10 \cdot (\sqrt{2})^3 + 5 \cdot (\sqrt{2})^4 + 1 \cdot (\sqrt{2})^5$

$= 1 + 5\sqrt{2} + 10 \cdot 2 + 10 \cdot 2\sqrt{2} + 5 \cdot 4 + 4\sqrt{2}$

$= 1 + 5\sqrt{2} + 20 + 20\sqrt{2} + 20 + 4\sqrt{2}$

Сгруппируем рациональные и иррациональные части:

$= (1 + 20 + 20) + (5\sqrt{2} + 20\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 41 + 29\sqrt{2}$

Ответ: $41 + 29\sqrt{2}$

3) $(1+2x)^5$

Здесь $a=1$, $b=2x$, $n=5$.

Используем те же биномиальные коэффициенты, что и в предыдущем пункте:

$C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$, $C_5^5=1$.

Подставим в формулу:

$(1+2x)^5 = C_5^0 \cdot 1^5 (2x)^0 + C_5^1 \cdot 1^4 (2x)^1 + C_5^2 \cdot 1^3 (2x)^2 + C_5^3 \cdot 1^2 (2x)^3 + C_5^4 \cdot 1^1 (2x)^4 + C_5^5 \cdot 1^0 (2x)^5$

$= 1 \cdot 1 + 5 \cdot (2x) + 10 \cdot (4x^2) + 10 \cdot (8x^3) + 5 \cdot (16x^4) + 1 \cdot (32x^5)$

$= 1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5$

Ответ: $1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5$

4) $(x+\frac{1}{2x})^8$

Здесь $a=x$, $b=\frac{1}{2x}$, $n=8$.

Вычислим биномиальные коэффициенты для $n=8$:

$C_8^0 = 1$

$C_8^1 = 8$

$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$

$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Остальные коэффициенты симметричны: $C_8^5 = 56$, $C_8^6 = 28$, $C_8^7 = 8$, $C_8^8 = 1$.

Подставим в формулу:

$(x+\frac{1}{2x})^8 = C_8^0 x^8 (\frac{1}{2x})^0 + C_8^1 x^7 (\frac{1}{2x})^1 + C_8^2 x^6 (\frac{1}{2x})^2 + C_8^3 x^5 (\frac{1}{2x})^3 + C_8^4 x^4 (\frac{1}{2x})^4 + C_8^5 x^3 (\frac{1}{2x})^5 + C_8^6 x^2 (\frac{1}{2x})^6 + C_8^7 x^1 (\frac{1}{2x})^7 + C_8^8 x^0 (\frac{1}{2x})^8$

$= 1 \cdot x^8 + 8 \cdot x^7 \cdot \frac{1}{2x} + 28 \cdot x^6 \cdot \frac{1}{4x^2} + 56 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{8x^3} + 70 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{16x^4} + 56 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{32x^5} + 28 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{64x^6} + 8 \cdot x \cdot \frac{1}{128x^7} + 1 \cdot \frac{1}{256x^8}$

Упростим каждый член разложения:

$= x^8 + 4x^6 + 7x^4 + 7x^2 + \frac{70}{16} + \frac{56}{32x^2} + \frac{28}{64x^4} + \frac{8}{128x^6} + \frac{1}{256x^8}$

$= x^8 + 4x^6 + 7x^4 + 7x^2 + \frac{35}{8} + \frac{7}{4x^2} + \frac{7}{16x^4} + \frac{1}{16x^6} + \frac{1}{256x^8}$

Ответ: $x^8 + 4x^6 + 7x^4 + 7x^2 + \frac{35}{8} + \frac{7}{4x^2} + \frac{7}{16x^4} + \frac{1}{16x^6} + \frac{1}{256x^8}$