Номер 334, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

334. Не решая данное уравнение, составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. По условию задачи, требуется составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут числа, обратные корням исходного уравнения, то есть $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не вычисляя их. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$, сумма корней равна $-b$, а произведение корней равно $c$.

Для исходного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$ коэффициенты равны $b=-6$ и $c=-7$. Таким образом, по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-6) = 6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7$.
Поскольку произведение корней не равно нулю ($x_1 \cdot x_2 \neq 0$), то и сами корни не равны нулю ($x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$), а значит, для них существуют обратные числа.

Теперь найдём сумму и произведение корней для нового квадратного уравнения.

Сумма новых корней ($y_1 + y_2$):
$y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2}$.
Подставим известные нам значения суммы и произведения корней $x_1$ и $x_2$:
$y_1 + y_2 = \frac{6}{-7} = -\frac{6}{7}$.

Произведение новых корней ($y_1 \cdot y_2$):
$y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 \cdot x_2}$.
Подставим известное нам значение произведения корней $x_1$ и $x_2$:
$y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$.

Зная сумму и произведение корней, можно составить искомое приведенное квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета. Если $S$ — сумма корней, а $P$ — произведение корней, то уравнение имеет вид $y^2 - Sy + P = 0$.

Подставим найденные значения $S = -\frac{6}{7}$ и $P = -\frac{1}{7}$:
$y^2 - (-\frac{6}{7})y + (-\frac{1}{7}) = 0$
$y^2 + \frac{6}{7}y - \frac{1}{7} = 0$.

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на 7:
$7 \cdot (y^2 + \frac{6}{7}y - \frac{1}{7}) = 7 \cdot 0$
$7y^2 + 6y - 1 = 0$.

Это и есть искомое квадратное уравнение. Для записи ответа можно использовать стандартное обозначение переменной $x$.

Ответ: $7x^2 + 6x - 1 = 0$.