Номер 296, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

296. При каких целых значениях $n$ выражение $\frac{3n^2-7n+17}{n+4}$ является натуральным числом?

Для того чтобы данное выражение было натуральным числом, оно должно быть целым и положительным. Пусть $n$ — целое число.

Чтобы выражение $\frac{3n^2 - 7n + 17}{n+4}$ было целым, числитель $3n^2 - 7n + 17$ должен делиться на знаменатель $n+4$ без остатка. Для проверки этого условия и упрощения выражения выделим целую часть дроби. Это можно сделать с помощью полиномиального деления (деления "уголком") или путем преобразования числителя:

$3n^2 - 7n + 17 = 3n^2 + 12n - 12n - 7n + 17$ (прибавим и вычтем $12n$)
$= 3n(n+4) - 19n + 17$ (вынесем $3n$ за скобки)
$= 3n(n+4) - 19n - 76 + 76 + 17$ (прибавим и вычтем 76, так как $19 \cdot 4 = 76$)
$= 3n(n+4) - 19(n+4) + 93$ (вынесем $-19$ за скобки)
$= (3n - 19)(n+4) + 93$

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

$\frac{3n^2 - 7n + 17}{n+4} = \frac{(3n - 19)(n+4) + 93}{n+4} = 3n - 19 + \frac{93}{n+4}$

Поскольку $n$ — целое число, то и $3n - 19$ является целым числом. Для того чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{93}{n+4}$ также была целым числом. Это возможно только в том случае, если знаменатель $n+4$ является делителем числа 93.

Найдем все целые делители числа 93. Разложим 93 на простые множители: $93 = 3 \cdot 31$. Делителями числа 93 являются: $\pm 1, \pm 3, \pm 31, \pm 93$.

Теперь рассмотрим все возможные случаи для $n+4$:

• $n+4 = 1 \implies n = 1 - 4 = -3$
• $n+4 = -1 \implies n = -1 - 4 = -5$
• $n+4 = 3 \implies n = 3 - 4 = -1$
• $n+4 = -3 \implies n = -3 - 4 = -7$
• $n+4 = 31 \implies n = 31 - 4 = 27$
• $n+4 = -31 \implies n = -31 - 4 = -35$
• $n+4 = 93 \implies n = 93 - 4 = 89$
• $n+4 = -93 \implies n = -93 - 4 = -97$

Мы нашли все целые значения $n$, при которых выражение является целым числом. Теперь из них нужно выбрать те, при которых значение выражения будет натуральным, то есть положительным.

Проверим каждое найденное значение $n$, подставляя его в выражение $3n - 19 + \frac{93}{n+4}$:

• При $n = -97$: $3(-97) - 19 + \frac{93}{-93} = -291 - 19 - 1 = -311$ (не натуральное)
• При $n = -35$: $3(-35) - 19 + \frac{93}{-31} = -105 - 19 - 3 = -127$ (не натуральное)
• При $n = -7$: $3(-7) - 19 + \frac{93}{-3} = -21 - 19 - 31 = -71$ (не натуральное)
• При $n = -5$: $3(-5) - 19 + \frac{93}{-1} = -15 - 19 - 93 = -127$ (не натуральное)
• При $n = -3$: $3(-3) - 19 + \frac{93}{1} = -9 - 19 + 93 = 65$ (натуральное)
• При $n = -1$: $3(-1) - 19 + \frac{93}{3} = -3 - 19 + 31 = 9$ (натуральное)
• При $n = 27$: $3(27) - 19 + \frac{93}{31} = 81 - 19 + 3 = 65$ (натуральное)
• При $n = 89$: $3(89) - 19 + \frac{93}{93} = 267 - 19 + 1 = 249$ (натуральное)

Таким образом, выражение является натуральным числом при четырех целых значениях $n$.

Ответ: -3, -1, 27, 89.