Номер 293, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

293. Не выполняя деления многочленов, найти остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x):

1) $P(x)=x^7+x^6-6x^5+x^2-5x$, $Q(x)=x^2+x-6$;

2) $P(x)=x^5-2x^4+x^3+x-2$, $Q(x)=x^2-4$.

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$ воспользуемся теоремой о делении с остатком. Она гласит, что для любых многочленов $P(x)$ (делимое) и $Q(x)$ (делитель) существуют единственные многочлены $D(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такие, что:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

При этом степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $Q(x)$.

Если $x_0$ является корнем многочлена $Q(x)$, то $Q(x_0) = 0$. Подставив $x = x_0$ в уравнение выше, получим:

$P(x_0) = D(x_0) \cdot Q(x_0) + R(x_0) = D(x_0) \cdot 0 + R(x_0) = R(x_0)$

Таким образом, значение многочлена $P(x)$ в корне делителя $Q(x)$ равно значению остатка $R(x)$ в этом же корне.

1) $P(x) = x^7 + x^6 - 6x^5 + x^2 - 5x$, $Q(x) = x^2 + x - 6$

Делитель $Q(x) = x^2 + x - 6$ является многочленом второй степени, следовательно, остаток $R(x)$ будет многочленом не выше первой степени, то есть $R(x) = ax + b$.

Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь составим систему уравнений, используя найденные корни:

Для $x_1 = 2$: $P(2) = R(2) = 2a + b$.

Вычислим $P(2)$:

$P(2) = 2^7 + 2^6 - 6 \cdot 2^5 + 2^2 - 5 \cdot 2 = 128 + 64 - 6 \cdot 32 + 4 - 10 = 192 - 192 + 4 - 10 = -6$.

Получаем первое уравнение: $2a + b = -6$.

Для $x_2 = -3$: $P(-3) = R(-3) = -3a + b$.

Вычислим $P(-3)$:

$P(-3) = (-3)^7 + (-3)^6 - 6 \cdot (-3)^5 + (-3)^2 - 5 \cdot (-3)$

$P(-3) = -2187 + 729 - 6 \cdot (-243) + 9 + 15 = -2187 + 729 + 1458 + 24 = -1458 + 1458 + 24 = 24$.

Получаем второе уравнение: $-3a + b = 24$.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a + b = -6 \\ -3a + b = 24 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2a + b) - (-3a + b) = -6 - 24$

$5a = -30$

$a = -6$

Подставим значение $a = -6$ в первое уравнение:

$2(-6) + b = -6$

$-12 + b = -6$

$b = 6$

Таким образом, остаток $R(x) = ax + b = -6x + 6$.

Ответ: $R(x) = -6x + 6$.

2) $P(x) = x^5 - 2x^4 + x^3 + x - 2$, $Q(x) = x^2 - 4$

Делитель $Q(x) = x^2 - 4$ является многочленом второй степени, значит остаток $R(x)$ имеет вид $ax + b$.

Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 - 4 = 0$.

$x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Составим систему уравнений:

Для $x_1 = 2$: $P(2) = R(2) = 2a + b$.

Вычислим $P(2)$:

$P(2) = 2^5 - 2 \cdot 2^4 + 2^3 + 2 - 2 = 32 - 2 \cdot 16 + 8 = 32 - 32 + 8 = 8$.

Получаем первое уравнение: $2a + b = 8$.

Для $x_2 = -2$: $P(-2) = R(-2) = -2a + b$.

Вычислим $P(-2)$:

$P(-2) = (-2)^5 - 2 \cdot (-2)^4 + (-2)^3 + (-2) - 2 = -32 - 2 \cdot 16 - 8 - 2 - 2 = -32 - 32 - 8 - 4 = -76$.

Получаем второе уравнение: $-2a + b = -76$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 2a + b = 8 \\ -2a + b = -76 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(2a + b) + (-2a + b) = 8 + (-76)$

$2b = -68$

$b = -34$

Подставим значение $b = -34$ в первое уравнение:

$2a + (-34) = 8$

$2a = 42$

$a = 21$

Таким образом, остаток $R(x) = ax + b = 21x - 34$.

Ответ: $R(x) = 21x - 34$.