Номер 6, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя глава II. Глава II. Делимость чисел - номер 6, страница 95.

Условие.

6. Доказать, что при любом $n \in N$ число $a = n^3 + 35n$ делится на 6.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что число $a = n^3 + 35n$ делится на 6 при любом натуральном $n$, необходимо показать, что это число делится одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Преобразуем исходное выражение, прибавив и вычтя из него $n$. Это позволит нам выделить известные формы, делимость которых легко доказать.

$a = n^3 + 35n = n^3 - n + n + 35n = (n^3 - n) + 36n$

Теперь проанализируем каждое слагаемое в полученной сумме $a = (n^3 - n) + 36n$.

Первое слагаемое: $n^3 - n$. Вынесем общий множитель $n$ за скобки и применим формулу разности квадратов:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Полученное выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных чисел всегда есть:

• хотя бы одно четное число (то есть число, делящееся на 2),
• ровно одно число, делящееся на 3.

Поскольку в произведении присутствуют множители, кратные 2 и 3, то само произведение гарантированно делится на $2 \cdot 3 = 6$.

Второе слагаемое: $36n$. Так как коэффициент 36 делится на 6 ($36 = 6 \cdot 6$), то и все произведение $36n$ делится на 6 для любого натурального $n$.

Мы представили исходное число $a$ в виде суммы двух слагаемых, $(n^3 - n)$ и $36n$. Так как каждое из этих слагаемых делится на 6, то и их сумма $a = (n^3 - n) + 36n$ также делится на 6 при любом натуральном $n$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение о том, что число $a = n^3 + 35n$ делится на 6 при любом $n \in N$, доказано.