Номер 6, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Сформулировать признаки делимости на 6, 8, 12, 15, 125.

Признак делимости на 6
Число делится на $6$, если оно одновременно делится на $2$ и на $3$.

Признак делимости на 8
Число делится на $8$, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на $8$.

Признак делимости на 12
Число делится на $12$, если оно одновременно делится на $3$ и на $4$.

Признак делимости на 15
Число делится на $15$, если оно одновременно делится на $3$ и на $5$.

Признак делимости на 125
Число делится на $125$, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на $125$. То есть, если последние три цифры числа образуют $000$, $125$, $250$, $375$, $500$, $625$, $750$ или $875$.

Признак делимости на 6

Чтобы натуральное число делилось на 6, оно должно делиться одновременно и на 2, и на 3, поскольку $6 = 2 \times 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.
1. Признак делимости на 2: число должно быть четным, то есть его последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8.
2. Признак делимости на 3: сумма всех цифр числа должна делиться на 3.
Следовательно, для делимости на 6 необходимо и достаточно выполнение обоих этих условий.
Пример: рассмотрим число 432.
- Число оканчивается на 2, значит, оно четное и делится на 2.
- Сумма его цифр: $4 + 3 + 2 = 9$. Число 9 делится на 3.
Оба признака выполняются, следовательно, 432 делится на 6. Проверка: $432 / 6 = 72$.

Ответ: Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Если в числе меньше трех цифр, то оно само должно делиться на 8.
Этот признак основан на том, что 1000 делится на 8 без остатка ($1000 = 8 \times 125$). Любое число $N$ можно записать в виде $N = 1000k + m$, где $m$ — это число, образованное тремя последними цифрами числа $N$. Поскольку слагаемое $1000k$ всегда делится на 8, то делимость всего числа $N$ на 8 зависит только от делимости $m$ на 8.
Пример: рассмотрим число 98712.
- Три последние цифры образуют число 112.
- Проверяем делимость 112 на 8: $112 / 8 = 14$.
Так как 112 делится на 8, то и все число 98712 делится на 8.

Ответ: Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Признак делимости на 12

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться одновременно и на 3, и на 4, так как $12 = 3 \times 4$, а числа 3 и 4 взаимно простые.
1. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
2. Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.
Следовательно, для делимости на 12 необходимо и достаточно выполнение обоих этих условий.
Пример: рассмотрим число 2580.
- Сумма цифр: $2 + 5 + 8 + 0 = 15$. Число 15 делится на 3.
- Две последние цифры образуют число 80. Число 80 делится на 4 ($80 / 4 = 20$).
Оба признака выполняются, следовательно, 2580 делится на 12. Проверка: $2580 / 12 = 215$.

Ответ: Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 15

Чтобы число делилось на 15, оно должно делиться одновременно и на 3, и на 5, так как $15 = 3 \times 5$, а числа 3 и 5 взаимно простые.
1. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
2. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.
Следовательно, для делимости на 15 необходимо и достаточно выполнение обоих этих условий.
Пример: рассмотрим число 1455.
- Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
- Сумма его цифр: $1 + 4 + 5 + 5 = 15$. Число 15 делится на 3.
Оба признака выполняются, следовательно, 1455 делится на 15. Проверка: $1455 / 15 = 97$.

Ответ: Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 125

Число делится на 125, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 125. Если в числе меньше трех цифр, то оно само должно делиться на 125.
Этот признак аналогичен признаку делимости на 8 и основан на том, что 1000 делится на 125 без остатка ($1000 = 125 \times 8$). Любое число $N$ можно записать в виде $N = 1000k + m$, где $m$ — это число, образованное тремя последними цифрами числа $N$. Поскольку слагаемое $1000k$ всегда делится на 125, то делимость всего числа $N$ на 125 зависит только от делимости $m$ на 125.
На практике это означает, что число должно оканчиваться на 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 или 875.
Пример: рассмотрим число 12625.
- Три последние цифры образуют число 625.
- Проверяем делимость 625 на 125: $625 / 125 = 5$.
Так как 625 делится на 125, то и все число 12625 делится на 125.

Ответ: Число делится на 125 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 125.