Номер 3, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава II. Делимость чисел - номер 3, страница 94.

Условие.

3. Натуральные числа $a$ и $b$ не делятся на 3. Можно ли утверждать, что число $a^2 - b^2$ делится на 3?

Решение 1.

Решение 4.

Да, можно утверждать, что число $a^2 - b^2$ делится на 3. Вот подробное объяснение.

По условию, натуральные числа $a$ и $b$ не делятся на 3. Это означает, что при делении на 3 они могут давать в остатке либо 1, либо 2. Любое натуральное число $n$, не кратное 3, можно представить в одной из двух форм: $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Рассмотрим, какой остаток при делении на 3 дает квадрат такого числа $n$.

• Если $n$ при делении на 3 дает в остатке 1, то $n = 3k + 1$. Возведем в квадрат: $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. В этом случае остаток от деления $n^2$ на 3 равен 1.
• Если $n$ при делении на 3 дает в остатке 2, то $n = 3k + 2$. Возведем в квадрат: $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. В этом случае остаток от деления $n^2$ на 3 также равен 1.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого натурального числа, которое не делится на 3, при делении на 3 всегда дает в остатке 1.

Используя язык сравнений по модулю, это можно записать так:Если $n \not\equiv 0 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

Поскольку по условию задачи числа $a$ и $b$ не делятся на 3, то для их квадратов справедливы следующие сравнения:$a^2 \equiv 1 \pmod{3}$$b^2 \equiv 1 \pmod{3}$

Теперь рассмотрим их разность $a^2 - b^2$:$a^2 - b^2 \equiv 1 - 1 \pmod{3}$$a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{3}$

То, что разность $a^2 - b^2$ сравнима с нулем по модулю 3, означает, что она делится на 3 без остатка.

Ответ: Да, можно утверждать, что число $a^2 - b^2$ делится на 3.