Страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

281. Пусть $m$ и $n$ – натуральные числа, такие, что число $m + n + 2$ делится на 6. Доказать, что число $m^3 + n^3 + 8$ также делится на 6.

По условию задачи дано, что $m$ и $n$ — натуральные числа, и число $m + n + 2$ делится на 6. Используя язык сравнений по модулю, это можно записать как $m + n + 2 \equiv 0 \pmod{6}$.

Нам необходимо доказать, что число $m^3 + n^3 + 8$ также делится на 6, то есть $m^3 + n^3 + 8 \equiv 0 \pmod{6}$.

Рассмотрим разность между выражением, делимость которого нужно доказать, и выражением, делимость которого дана в условии: $(m^3 + n^3 + 8) - (m + n + 2)$.

Упростим эту разность: $(m^3 + n^3 + 8) - (m + n + 2) = m^3 - m + n^3 - n + 6 = (m^3 - m) + (n^3 - n) + 6$.

Теперь проанализируем выражение вида $k^3 - k$ для любого натурального числа $k$. Разложим его на множители: $k^3 - k = k(k^2 - 1) = k(k - 1)(k + 1) = (k - 1)k(k + 1)$.

Это выражение представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Произведение трех последовательных чисел всегда делится на 6, потому что: 1. Среди трех последовательных чисел всегда есть хотя бы одно четное, то есть оно делится на 2. 2. Среди трех последовательных чисел всегда есть ровно одно число, кратное трем, то есть оно делится на 3. Поскольку числа 2 и 3 взаимно просты, то их произведение, то есть 6, также делит произведение этих трех чисел.

Таким образом, для любых натуральных $m$ и $n$:

• $m^3 - m$ делится на 6.
• $n^3 - n$ делится на 6.

Следовательно, сумма $(m^3 - m) + (n^3 - n)$ делится на 6. Так как 6 также делится на 6, то вся разность $(m^3 - m) + (n^3 - n) + 6$ делится на 6.

Мы показали, что разность $(m^3 + n^3 + 8) - (m + n + 2)$ кратна 6. Это означает, что числа $m^3 + n^3 + 8$ и $m + n + 2$ имеют одинаковые остатки при делении на 6. Запишем это в виде сравнения: $m^3 + n^3 + 8 \equiv m + n + 2 \pmod{6}$.

Из условия задачи мы знаем, что $m + n + 2$ делится на 6, то есть $m + n + 2 \equiv 0 \pmod{6}$. Подставим это в полученное нами сравнение: $m^3 + n^3 + 8 \equiv 0 \pmod{6}$.

Это доказывает, что число $m^3 + n^3 + 8$ также делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

282. Доказать, что число $n^5 - 6n$ делится на 5 при любом $n \in N$.

Для того чтобы доказать, что число $n^5 - 6n$ делится на 5 при любом натуральном $n$, мы преобразуем это выражение.

Представим $n^5 - 6n$ в виде разности: $n^5 - 6n = n^5 - n - 5n = (n^5 - n) - 5n$.

Данное выражение является разностью двух слагаемых: $(n^5 - n)$ и $5n$. Второе слагаемое, $5n$, очевидно делится на 5 для любого натурального $n$, так как оно содержит множитель 5. Следовательно, задача сводится к доказательству того, что первое слагаемое, $(n^5 - n)$, также делится на 5.

Докажем делимость $(n^5 - n)$ на 5 путем разложения на множители. $n^5 - n = n(n^4 - 1)$. Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2 + 1)$.

Теперь используем алгебраический прием. Представим множитель $n^2 + 1$ в виде $n^2 - 4 + 5$, чтобы в дальнейшем выделить произведение пяти последовательных чисел: $(n-1)n(n+1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5) = (n-1)n(n+1)((n-2)(n+2) + 5) = (n-1)n(n+1)(n-2)(n+2) + 5(n-1)n(n+1)$.

Переупорядочим множители в первом слагаемом: $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1)$.

Рассмотрим получившуюся сумму. Первое слагаемое, $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$, является произведением пяти последовательных целых чисел. Среди любых пяти последовательных чисел всегда есть одно, которое кратно 5. Следовательно, их произведение всегда делится на 5. Второе слагаемое, $5(n-1)n(n+1)$, также делится на 5, так как содержит множитель 5.

Поскольку оба слагаемых делятся на 5, их сумма, равная $(n^5 - n)$, также делится на 5.

Мы доказали, что обе части выражения $(n^5 - n) - 5n$ делятся на 5. Следовательно, и само выражение $n^5 - 6n$ делится на 5 при любом натуральном $n$.

Заметим, что делимость $n^5 - n$ на 5 также прямо следует из Малой теоремы Ферма, которая утверждает, что $n^p - n$ делится на простое число $p$. Для $p=5$ это дает требуемый результат.

Ответ: Утверждение доказано.

283. Найти все целые числа n, такие, что число a является целым, если:

1) $a = \frac{n^2+2}{n-1}$

2) $a = \frac{2n^2+1}{2n^2-1}$

3) $a = \frac{n^4+3n^2+7}{n^2+1}$

4) $a = \frac{n^5+3}{n^2+1}$

1) Для того, чтобы число $a = \frac{n^2 + 2}{n - 1}$ было целым, преобразуем выражение, выделив целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком: $n^2 + 2 = n^2 - 1 + 3 = (n-1)(n+1) + 3$. Тогда выражение для $a$ примет вид: $a = \frac{(n-1)(n+1) + 3}{n - 1} = n+1 + \frac{3}{n-1}$. Поскольку $n$ — целое число, выражение $n+1$ также является целым. Для того чтобы $a$ было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{3}{n-1}$ была целым числом. Это означает, что знаменатель $n-1$ должен быть делителем числа 3. Целыми делителями числа 3 являются $1, -1, 3, -3$. Рассмотрим каждый случай:

• $n-1 = 1 \implies n = 2$
• $n-1 = -1 \implies n = 0$
• $n-1 = 3 \implies n = 4$
• $n-1 = -3 \implies n = -2$

Таким образом, мы нашли все целые значения $n$, при которых $a$ является целым числом.
Ответ: $n \in \{-2, 0, 2, 4\}$.

2) Рассмотрим выражение $a = \frac{2n^2 + 1}{2n^2 - 1}$. Выделим целую часть: $a = \frac{2n^2 - 1 + 2}{2n^2 - 1} = \frac{2n^2 - 1}{2n^2 - 1} + \frac{2}{2n^2 - 1} = 1 + \frac{2}{2n^2 - 1}$. Поскольку 1 — целое число, для целочисленности $a$ необходимо, чтобы дробь $\frac{2}{2n^2 - 1}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $2n^2 - 1$ является делителем числа 2. Целыми делителями числа 2 являются $1, -1, 2, -2$. Рассмотрим все случаи:

• $2n^2 - 1 = 1 \implies 2n^2 = 2 \implies n^2 = 1 \implies n = \pm 1$
• $2n^2 - 1 = -1 \implies 2n^2 = 0 \implies n^2 = 0 \implies n = 0$
• $2n^2 - 1 = 2 \implies 2n^2 = 3 \implies n^2 = 3/2$, нет целых решений для $n$
• $2n^2 - 1 = -2 \implies 2n^2 = -1 \implies n^2 = -1/2$, нет действительных решений для $n$

Следовательно, подходят только значения $n=0, 1, -1$.
Ответ: $n \in \{-1, 0, 1\}$.

3) Преобразуем выражение $a = \frac{n^4 + 3n^2 + 7}{n^2 + 1}$. Выполним деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе: $n^4 + 3n^2 + 7 = n^2(n^2+1) - n^2 + 3n^2 + 7 = n^2(n^2+1) + 2n^2 + 7 = n^2(n^2+1) + 2(n^2+1) - 2 + 7 = (n^2+2)(n^2+1) + 5$. Тогда $a = \frac{(n^2+2)(n^2+1) + 5}{n^2 + 1} = n^2 + 2 + \frac{5}{n^2 + 1}$. Так как $n$ — целое, $n^2+2$ тоже целое. Значит, для целочисленности $a$ необходимо, чтобы дробь $\frac{5}{n^2 + 1}$ была целым числом. Знаменатель $n^2+1$ должен быть делителем числа 5. Поскольку $n$ — целое, $n^2 \ge 0$, и $n^2+1 \ge 1$. Положительными делителями числа 5 являются 1 и 5.

• $n^2+1 = 1 \implies n^2 = 0 \implies n = 0$
• $n^2+1 = 5 \implies n^2 = 4 \implies n = \pm 2$

Таким образом, искомые значения $n$ это $0, 2, -2$.
Ответ: $n \in \{-2, 0, 2\}$.

4) Рассмотрим выражение $a = \frac{n^5 + 3}{n^2 + 1}$. Выделим целую часть путем деления многочленов: $n^5+3 = n^3(n^2+1) - n^3 + 3 = n^3(n^2+1) - n(n^2+1) + n + 3$. Таким образом, $a = \frac{n^3(n^2+1) - n(n^2+1) + n + 3}{n^2 + 1} = n^3 - n + \frac{n+3}{n^2+1}$. Поскольку $n$ — целое число, $n^3-n$ также является целым. Следовательно, $a$ будет целым тогда и только тогда, когда дробь $k = \frac{n+3}{n^2+1}$ является целым числом. Рассмотрим, при каких $n$ дробь $k$ может быть целой. Если $|n| \ge 4$, то $|n+3| \le |n|+|3| < n^2+1$. В этом случае $|k| = |\frac{n+3}{n^2+1}| < 1$, поэтому единственное возможное целое значение $k=0$. Уравнение $\frac{n+3}{n^2+1} = 0$ дает $n=-3$, что не удовлетворяет условию $|n| \ge 4$. Остается проверить целые значения $n$ от -3 до 3.

• $n=-3: k = \frac{-3+3}{(-3)^2+1} = \frac{0}{10} = 0$. Целое.
• $n=-2: k = \frac{-2+3}{(-2)^2+1} = \frac{1}{5}$. Не целое.
• $n=-1: k = \frac{-1+3}{(-1)^2+1} = \frac{2}{2} = 1$. Целое.
• $n=0: k = \frac{0+3}{0^2+1} = \frac{3}{1} = 3$. Целое.
• $n=1: k = \frac{1+3}{1^2+1} = \frac{4}{2} = 2$. Целое.
• $n=2: k = \frac{2+3}{2^2+1} = \frac{5}{5} = 1$. Целое.
• $n=3: k = \frac{3+3}{3^2+1} = \frac{6}{10}$. Не целое.

Объединяя все найденные решения, получаем искомый набор значений $n$.
Ответ: $n \in \{-3, -1, 0, 1, 2\}$.

284. Найти все целочисленные решения уравнения:

1) $x^2 = y^2 + 4y + 8;$

2) $x^3 - 3x^2 - xy - 8x - 2y + 27 = 0;$

3) $3xy + 16x + 13y + 61 = 0;$

4) $3xy - 10x + 16y - 45 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^2 = y^2 + 4y + 8$. Это диофантово уравнение. Преобразуем правую часть, выделив полный квадрат: $y^2 + 4y + 8 = (y^2 + 4y + 4) + 4 = (y+2)^2 + 4$. Уравнение принимает вид $x^2 = (y+2)^2 + 4$. Перенесем слагаемое с $y$ в левую часть: $x^2 - (y+2)^2 = 4$. Применим формулу разности квадратов: $(x - (y+2))(x + (y+2)) = 4$, что равносильно $(x - y - 2)(x + y + 2) = 4$. Так как $x$ и $y$ — целые числа, то выражения в скобках $(x - y - 2)$ и $(x + y + 2)$ также являются целыми числами, которые в произведении дают 4. Обозначим $A = x - y - 2$ и $B = x + y + 2$. Заметим, что их разность $B - A = (x + y + 2) - (x - y - 2) = 2y + 4 = 2(y+2)$ является четным числом. Это означает, что $A$ и $B$ должны иметь одинаковую четность. Поскольку их произведение $A \cdot B = 4$ четное, то и $A$, и $B$ должны быть четными. Возможные пары целых четных множителей числа 4: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$. Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $A = 2$ и $B = 2$. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} x - y - 2 = 2 \\ x + y + 2 = 2 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ во второе уравнение, найдем $y$: $2 + y + 2 = 2 \Rightarrow y = -2$. Решение: $(2, -2)$.
Случай 2: $A = -2$ и $B = -2$. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} x - y - 2 = -2 \\ x + y + 2 = -2 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставив $x=-2$ во второе уравнение, найдем $y$: $-2 + y + 2 = -2 \Rightarrow y = -2$. Решение: $(-2, -2)$.
Ответ: $(2, -2), (-2, -2)$.

2) Исходное уравнение: $x^3 - 3x^2 - xy - 8x - 2y + 27 = 0$. Выразим переменную $y$ через $x$. Для этого сгруппируем слагаемые с $y$: $x^3 - 3x^2 - 8x + 27 = xy + 2y$, или $y(x+2) = x^3 - 3x^2 - 8x + 27$. Если $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$, мы можем разделить обе части на $x+2$: $y = \frac{x^3 - 3x^2 - 8x + 27}{x+2}$. Чтобы $y$ был целым числом, числитель должен делиться на знаменатель нацело. Выполним деление многочленов (например, столбиком): $y = x^2 - 5x + 2 + \frac{23}{x+2}$. Поскольку $x$ — целое число, выражение $x^2 - 5x + 2$ также является целым. Следовательно, для целочисленности $y$ необходимо, чтобы дробь $\frac{23}{x+2}$ была целым числом. Это означает, что знаменатель $x+2$ должен быть делителем числа 23. Так как 23 — простое число, его целые делители: $1, -1, 23, -23$.
Рассмотрим 4 случая:
1. $x+2 = 1 \Rightarrow x = -1$. Тогда $y = (-1)^2 - 5(-1) + 2 + \frac{23}{1} = 1+5+2+23 = 31$. Решение: $(-1, 31)$.
2. $x+2 = -1 \Rightarrow x = -3$. Тогда $y = (-3)^2 - 5(-3) + 2 + \frac{23}{-1} = 9+15+2-23 = 3$. Решение: $(-3, 3)$.
3. $x+2 = 23 \Rightarrow x = 21$. Тогда $y = 21^2 - 5(21) + 2 + \frac{23}{23} = 441 - 105 + 2 + 1 = 339$. Решение: $(21, 339)$.
4. $x+2 = -23 \Rightarrow x = -25$. Тогда $y = (-25)^2 - 5(-25) + 2 + \frac{23}{-23} = 625 + 125 + 2 - 1 = 751$. Решение: $(-25, 751)$.
Осталось проверить случай $x = -2$. Подставляя в исходное уравнение: $(-2)^3 - 3(-2)^2 - (-2)y - 8(-2) - 2y + 27 = 0 \Rightarrow -8 - 12 + 2y + 16 - 2y + 27 = 0 \Rightarrow 23 = 0$. Это неверное равенство, значит при $x=-2$ решений нет.
Ответ: $(-1, 31), (-3, 3), (21, 339), (-25, 751)$.

3) Исходное уравнение: $3xy + 16x + 13y + 61 = 0$. Это уравнение вида $axy+bx+cy+d=0$, которое можно решить методом разложения на множители. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы коэффициент при $xy$ стал полным квадратом: $9xy + 48x + 39y + 183 = 0$. Теперь попробуем разложить левую часть на множители вида $(3x+A)(3y+B)$. Раскрыв скобки, получим $9xy+3Bx+3Ay+AB$. Сравнивая с нашим уравнением, имеем: $3A = 39 \Rightarrow A=13$ и $3B = 48 \Rightarrow B=16$. Значит, искомое разложение связано с выражением $(3x+13)(3y+16) = 9xy + 48x + 39y + 208$. Перепишем наше уравнение как $9xy + 48x + 39y = -183$. Добавим к обеим частям 208: $(9xy + 48x + 39y + 208) = -183 + 208$. Слева получаем искомое произведение: $(3x+13)(3y+16) = 25$. Обозначим $U=3x+13$ и $V=3y+16$. Так как $x, y$ — целые, то $U, V$ — целые множители числа 25. Пары множителей: $(1, 25), (25, 1), (-1, -25), (-25, -1), (5, 5), (-5, -5)$. Для того чтобы $x$ был целым, $U-13$ должно делиться на 3, т.е. $U \equiv 13 \pmod 3 \Rightarrow U \equiv 1 \pmod 3$. Для того чтобы $y$ был целым, $V-16$ должно делиться на 3, т.е. $V \equiv 16 \pmod 3 \Rightarrow V \equiv 1 \pmod 3$. Проверим пары $(U, V)$:
1. $(1, 25)$: $1 \equiv 1 \pmod 3$ и $25 \equiv 1 \pmod 3$. Подходит. $x = (1-13)/3 = -4, y = (25-16)/3 = 3$. Решение: $(-4, 3)$.
2. $(25, 1)$: $25 \equiv 1 \pmod 3$ и $1 \equiv 1 \pmod 3$. Подходит. $x = (25-13)/3 = 4, y = (1-16)/3 = -5$. Решение: $(4, -5)$.
3. $(-1, -25)$: $-1 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
4. $(-25, -1)$: $-25 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
5. $(5, 5)$: $5 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
6. $(-5, -5)$: $-5 \equiv 1 \pmod 3$. Подходит. $x = (-5-13)/3 = -6, y = (-5-16)/3 = -7$. Решение: $(-6, -7)$.
Ответ: $(-4, 3), (4, -5), (-6, -7)$.

4) Исходное уравнение: $3xy - 10x + 16y - 45 = 0$. Применим метод разложения на множители. Умножим уравнение на 3: $9xy - 30x + 48y - 135 = 0$. Представим левую часть в виде $(3x+A)(3y+B) = 9xy + 3Bx + 3Ay + AB$. Сравнивая с нашим уравнением, имеем: $3A = 48 \Rightarrow A=16$ и $3B = -30 \Rightarrow B=-10$. Таким образом, $(3x+16)(3y-10) = 9xy - 30x + 48y - 160$. Наше уравнение можно записать как $9xy - 30x + 48y = 135$. Преобразуем его: $(9xy - 30x + 48y - 160) + 160 = 135$, что дает $(3x+16)(3y-10) = 135 - 160 = -25$. Обозначим $U = 3x+16$ и $V = 3y-10$. $U$ и $V$ — целые множители числа -25. Пары множителей: $(1, -25), (-1, 25), (5, -5), (-5, 5), (25, -1), (-25, 1)$. Для целочисленности $x$ необходимо $U-16$ делилось на 3, то есть $U \equiv 16 \pmod 3 \Rightarrow U \equiv 1 \pmod 3$. Для целочисленности $y$ необходимо $V+10$ делилось на 3, то есть $V \equiv -10 \pmod 3 \Rightarrow V \equiv 2 \pmod 3$. Проверим пары $(U, V)$ на соответствие этим условиям:
1. $(1, -25)$: $U=1 \equiv 1 \pmod 3$, $V=-25 \equiv 2 \pmod 3$. Подходит. $x=(1-16)/3 = -5$, $y=(-25+10)/3 = -5$. Решение: $(-5, -5)$.
2. $(-1, 25)$: $U=-1 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
3. $(5, -5)$: $U=5 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
4. $(-5, 5)$: $U=-5 \equiv 1 \pmod 3$, $V=5 \equiv 2 \pmod 3$. Подходит. $x=(-5-16)/3 = -7$, $y=(5+10)/3 = 5$. Решение: $(-7, 5)$.
5. $(25, -1)$: $U=25 \equiv 1 \pmod 3$, $V=-1 \equiv 2 \pmod 3$. Подходит. $x=(25-16)/3 = 3$, $y=(-1+10)/3 = 3$. Решение: $(3, 3)$.
6. $(-25, 1)$: $U=-25 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
Ответ: $(-5, -5), (-7, 5), (3, 3)$.

285. В прямоугольном треугольнике длины сторон выражены натуральными взаимно простыми числами. Доказать, что длина гипотенузы выражена нечётным числом, а длины катетов — числами разной чётности.

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов прямоугольного треугольника, а $c$ — длина его гипотенузы. По условию, $a, b, c$ — натуральные взаимно простые числа. Это означает, что их наибольший общий делитель $НОД(a, b, c) = 1$.

Из взаимной простоты чисел $a, b, c$ следует их попарная взаимная простота. Действительно, если бы у $a$ и $b$ был общий делитель $d > 1$, то из теоремы Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ следовало бы, что $c^2$ делится на $d^2$, а значит $c$ делится на $d$. Тогда $d$ был бы общим делителем для $a, b$ и $c$, что противоречит условию. Таким образом, $НОД(a,b)=1$, $НОД(a,c)=1$ и $НОД(b,c)=1$.

Согласно теореме Пифагора, стороны связаны соотношением:

$a^2 + b^2 = c^2$

Для доказательства обоих утверждений проведём анализ чётности сторон. Рассмотрим все возможные случаи чётности катетов $a$ и $b$.

Случай 1: Оба катета $a$ и $b$ — чётные.

Если $a$ и $b$ — чётные, то они имеют общий делитель 2. Это противоречит доказанному выше свойству попарной взаимной простоты ($НОД(a,b)=1$). Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Оба катета $a$ и $b$ — нечётные.

Если $a$ и $b$ — нечётные, то их квадраты $a^2$ и $b^2$ также нечётные. Сумма двух нечётных чисел $c^2 = a^2 + b^2$ является чётным числом, значит гипотенуза $c$ — чётное число.

Рассмотрим это равенство с точки зрения остатков от деления на 4.Квадрат нечётного числа $n = 2k+1$ при делении на 4 даёт в остатке 1, так как $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1$.Поскольку $a$ и $b$ нечётные, то $a^2 \equiv 1 \pmod{4}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{4}$.Следовательно, их сумма $c^2 = a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{4}$.

Однако квадрат любого целого числа не может давать остаток 2 при делении на 4.

• Если $c$ — чётное, то $c=2m$ и $c^2 = 4m^2$, то есть $c^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если $c$ — нечётное, то $c^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

Полученное противоречие ($c^2$ должно быть сравнимо с 2 по модулю 4, но не может) означает, что этот случай также невозможен.

Поскольку случаи, когда катеты имеют одинаковую чётность, невозможны, остаётся только один вариант.

длины катетов — числами разной чётности

Из проведённого анализа следует, что единственно возможный случай — когда один катет является чётным числом, а другой — нечётным.
Ответ: Утверждение доказано.

длина гипотенузы выражена нечётным числом

Как мы только что доказали, один из катетов (пусть $a$) — чётный, а другой ($b$) — нечётный.Тогда их квадраты имеют соответствующую чётность: $a^2$ — чётное, а $b^2$ — нечётное.Сумма чётного и нечётного числа всегда нечётна. Поэтому $c^2 = a^2 + b^2$ является нечётным числом.Если квадрат числа ($c^2$) нечётен, то и само число ($c$) должно быть нечётным, так как квадрат чётного числа всегда чётен.
Ответ: Утверждение доказано.

286. На столе стоят 15 стаканов вверх дном. За один ход разрешается перевернуть 4 стакана. Можно ли достичь того, что через несколько ходов все стаканы встанут правильно?

Для решения этой задачи рассмотрим чётность количества стаканов, стоящих вверх дном.

Изначально на столе 15 стаканов стоят вверх дном. Число 15 является нечётным.

Цель состоит в том, чтобы все 15 стаканов стояли правильно. Это означает, что количество стаканов, стоящих вверх дном, должно стать равно 0. Число 0 является чётным.

Рассмотрим, как изменяется количество стаканов, стоящих вверх дном, за один ход. За один ход мы переворачиваем 4 стакана. Пусть из этих 4 стаканов $k$ стаканов стояли вверх дном, а $4-k$ стаканов стояли правильно (где $k$ может быть 0, 1, 2, 3 или 4).

После переворачивания $k$ стаканов, которые были вверх дном, станут стоять правильно, а $4-k$ стаканов, которые стояли правильно, окажутся вверх дном. Таким образом, общее изменение количества стаканов, стоящих вверх дном, за один ход составит:$$(4-k) - k = 4 - 2k$$

Величина $4 - 2k$ всегда является чётным числом при любом целом значении $k$. Это означает, что каждый ход изменяет количество стаканов, стоящих вверх дном, на чётное число (возможное изменение: 4, 2, 0, -2, -4).

Мы начинаем с нечётного числа стаканов, стоящих вверх дном (15). Поскольку каждый ход изменяет это количество на чётное число, то после любого количества ходов число стаканов, стоящих вверх дном, будет оставаться нечётным (так как нечётное ± чётное = нечётное).

Так как мы никогда не сможем получить чётное число (в частности, 0) стаканов, стоящих вверх дном, то достичь желаемого результата невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

1. Натуральное число $a$ делится на натуральные числа $m$ и $n$.

Можно ли утверждать, что $a$ делится на $mn$?

Нет, это утверждать в общем случае нельзя. Тот факт, что натуральное число $a$ делится на натуральные числа $m$ и $n$, не гарантирует, что $a$ будет делиться на их произведение $mn$.

Для того чтобы опровергнуть это общее утверждение, достаточно привести один контрпример.

Контрпример:
Пусть $a = 12$, $m = 6$ и $n = 4$.
Все эти числа являются натуральными. Проверим выполнение условий задачи:

• Число $a = 12$ делится нацело на $m = 6$, так как $12 \div 6 = 2$.
• Число $a = 12$ делится нацело на $n = 4$, так как $12 \div 4 = 3$.

Оба условия выполнены. Теперь проверим, делится ли $a$ на произведение $mn$:
$mn = 6 \cdot 4 = 24$.
Число $a = 12$ не делится нацело на $24$.
Таким образом, мы нашли пример, когда условия выполняются, а заключение — нет. Следовательно, утверждение неверно.

Объяснение:
Утверждение "если $a$ делится на $m$ и $a$ делится на $n$, то $a$ делится на $mn$" является верным тогда и только тогда, когда числа $m$ и $n$ взаимно простые, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
$\text{НОД}(m, n) = 1$.

В общем случае, если число $a$ делится на $m$ и на $n$, то оно гарантированно делится на их наименьшее общее кратное (НОК). Существует фундаментальное свойство, связывающее НОД и НОК двух чисел:
$m \cdot n = \text{НОД}(m, n) \cdot \text{НОК}(m, n)$

Из этой формулы можно выразить НОК:
$\text{НОК}(m, n) = \frac{m \cdot n}{\text{НОД}(m, n)}$
Число $a$ всегда делится на $\text{НОК}(m, n)$. Оно будет делиться на произведение $mn$ только в том случае, если $\text{НОК}(m, n) = mn$, что возможно лишь при $\text{НОД}(m, n) = 1$.

В нашем контрпримере для $m = 6$ и $n = 4$, наибольший общий делитель $\text{НОД}(6, 4) = 2$. Числа не являются взаимно простыми. Поэтому число $a = 12$ делится на их $\text{НОК}(6, 4) = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$, но не обязано делиться на $mn=24$.

Пример, когда утверждение верно:
Пусть $m = 3$ и $n = 5$. Эти числа взаимно простые, так как $\text{НОД}(3, 5) = 1$. Если некое число $a$ делится на 3 и на 5, то оно обязательно будет делиться и на их произведение $3 \cdot 5 = 15$. Например, $a = 60$. $60$ делится и на 3, и на 5, и на 15.

Ответ: Нет, утверждать, что $a$ делится на $mn$, в общем случае нельзя. Это справедливо только для взаимно простых чисел $m$ и $n$.

2. Натуральные числа $a$ и $b$ не делятся на натуральное число $m$. Можно ли утверждать, что на $m$ не делится:

1) их сумма;

2) их произведение?

1) их сумма

Нет, утверждать, что сумма $a+b$ не делится на $m$, в общем случае нельзя. Сумма двух чисел, каждое из которых не делится на $m$, может делиться на $m$.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример. Условие, что число не делится на $m$, означает, что остаток от его деления на $m$ не равен нулю. Пусть число $a$ при делении на $m$ дает остаток $r_1$ ($a = q_1 m + r_1$, где $0 < r_1 < m$), а число $b$ дает остаток $r_2$ ($b = q_2 m + r_2$, где $0 < r_2 < m$).

Их сумма равна $a+b = (q_1 + q_2)m + (r_1 + r_2)$. Эта сумма будет делиться на $m$, если сумма остатков $(r_1 + r_2)$ будет кратна $m$. Мы можем подобрать такие $a$ и $b$, что это условие выполнится.

Например, пусть $m = 10$, $a = 4$, $b = 6$.
Число $a=4$ не делится на 10 (остаток 4).
Число $b=6$ не делится на 10 (остаток 6).
Однако их сумма $a+b = 4+6=10$ делится на 10.

Ответ: нет, утверждать нельзя.

2) их произведение

Нет, утверждать, что произведение $a \cdot b$ не делится на $m$, также нельзя. Ответ на этот вопрос зависит от того, является ли число $m$ простым или составным.

Если $m$ — простое число, то утверждение будет верным. Согласно лемме Евклида, если произведение $a \cdot b$ делится на простое число $m$, то хотя бы один из множителей ($a$ или $b$) должен делиться на $m$. По условию, ни $a$, ни $b$ не делятся на $m$, значит, и их произведение не разделится на простое $m$.

Однако если $m$ — составное число, утверждение может быть неверным. Составное число можно представить в виде произведения двух множителей, которые меньше самого числа. То есть $m = x \cdot y$, где $1 < x < m$ и $1 < y < m$.

Приведем контрпример. Пусть $m=6$ (составное число). Возьмем в качестве $a$ и $b$ его множители: $a=2$ и $b=3$.
Число $a=2$ не делится на 6.
Число $b=3$ не делится на 6.
При этом их произведение $a \cdot b = 2 \cdot 3 = 6$ делится на 6.

Поскольку в условии задачи не указано, что $m$ является простым, мы рассматриваем общий случай, для которого данное утверждение неверно.

Ответ: нет, утверждать нельзя.

3. Натуральные числа $a$ и $b$ не делятся на 3. Можно ли утверждать, что число $a^2 - b^2$ делится на 3?

Да, можно утверждать, что число $a^2 - b^2$ делится на 3. Вот подробное объяснение.

По условию, натуральные числа $a$ и $b$ не делятся на 3. Это означает, что при делении на 3 они могут давать в остатке либо 1, либо 2. Любое натуральное число $n$, не кратное 3, можно представить в одной из двух форм: $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Рассмотрим, какой остаток при делении на 3 дает квадрат такого числа $n$.

• Если $n$ при делении на 3 дает в остатке 1, то $n = 3k + 1$. Возведем в квадрат: $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. В этом случае остаток от деления $n^2$ на 3 равен 1.
• Если $n$ при делении на 3 дает в остатке 2, то $n = 3k + 2$. Возведем в квадрат: $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. В этом случае остаток от деления $n^2$ на 3 также равен 1.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого натурального числа, которое не делится на 3, при делении на 3 всегда дает в остатке 1.

Используя язык сравнений по модулю, это можно записать так:Если $n \not\equiv 0 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

Поскольку по условию задачи числа $a$ и $b$ не делятся на 3, то для их квадратов справедливы следующие сравнения:$a^2 \equiv 1 \pmod{3}$$b^2 \equiv 1 \pmod{3}$

Теперь рассмотрим их разность $a^2 - b^2$:$a^2 - b^2 \equiv 1 - 1 \pmod{3}$$a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{3}$

То, что разность $a^2 - b^2$ сравнима с нулем по модулю 3, означает, что она делится на 3 без остатка.

Ответ: Да, можно утверждать, что число $a^2 - b^2$ делится на 3.

4. Можно ли утверждать, что при любых натуральных m и n делится на m + n число a, если:

1) $a = m^3 + n^3$;

2) $a = m^5 + n^5$;

3) $a = m^6 - n^6$;

4) $a = \frac{m^8 - n^8}{m^2 + n^2}$?

1) $a = m^3 + n^3$;

Для проверки делимости воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Применив эту формулу к выражению для $a$, получим:

$a = m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, то второй множитель $(m^2 - mn + n^2)$ является целым числом. Из этого следует, что число $a$ представляется в виде произведения $(m+n)$ на целое число, а значит, $a$ всегда делится на $(m+n)$ без остатка при любых натуральных $m$ и $n$.

Ответ: можно утверждать.

2) $a = m^5 + n^5$;

Для суммы одинаковых нечетных степеней существует общая формула разложения на множители: $x^k + y^k = (x+y)(x^{k-1} - x^{k-2}y + \dots - xy^{k-2} + y^{k-1})$ для любого нечетного натурального $k$.

В нашем случае степень $k=5$ является нечетной, поэтому мы можем разложить $a$ на множители:

$a = m^5 + n^5 = (m+n)(m^4 - m^3n + m^2n^2 - mn^3 + n^4)$

Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, выражение в правых скобках $(m^4 - m^3n + m^2n^2 - mn^3 + n^4)$ всегда будет целым числом. Следовательно, число $a$ делится на $(m+n)$ для любых натуральных $m$ и $n$.

Ответ: можно утверждать.

3) $a = m^6 - n^6$;

Выражение для $a$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Для этого представим $m^6$ как $(m^3)^2$ и $n^6$ как $(n^3)^2$.

$a = m^6 - n^6 = (m^3)^2 - (n^3)^2 = (m^3 - n^3)(m^3 + n^3)$

Как мы установили в пункте 1, выражение $(m^3 + n^3)$ всегда делится на $(m+n)$. Поскольку $a$ содержит множитель $(m^3 + n^3)$, то и само число $a$ также будет делиться на $(m+n)$.

Альтернативный способ — разложить $m^6 - n^6$ как разность квадратов $(m^2)^3-(n^2)^3$ не подходит, но можно использовать разложение $a = (m^2-n^2)(m^4+m^2n^2+n^4)$. Затем, разложив первый множитель, получаем: $a=(m-n)(m+n)(m^4+m^2n^2+n^4)$. В этом разложении явно виден множитель $(m+n)$, что также доказывает делимость.

Ответ: можно утверждать.

4) $a = \frac{m^8 - n^8}{m^2 + n^2}$?

Сначала упростим выражение для $a$. Для этого разложим числитель $m^8 - n^8$ на множители, последовательно применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$m^8 - n^8 = (m^4)^2 - (n^4)^2 = (m^4 - n^4)(m^4 + n^4)$

Продолжим разложение первого множителя:

$m^4 - n^4 = (m^2)^2 - (n^2)^2 = (m^2 - n^2)(m^2 + n^2)$

Таким образом, числитель равен:

$m^8 - n^8 = (m^2 - n^2)(m^2 + n^2)(m^4 + n^4)$

Теперь подставим это в исходное выражение для $a$:

$a = \frac{(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)(m^4 + n^4)}{m^2 + n^2}$

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, $m^2 + n^2$ всегда больше нуля, поэтому на этот множитель можно сократить дробь. Получаем:

$a = (m^2 - n^2)(m^4 + n^4)$

Наконец, разложим на множители первый сомножитель $(m^2 - n^2)$:

$a = (m - n)(m + n)(m^4 + n^4)$

В полученном выражении явно присутствует множитель $(m+n)$. Так как $(m-n)$ и $(m^4+n^4)$ являются целыми числами при натуральных $m$ и $n$, число $a$ всегда делится на $(m+n)$.

Ответ: можно утверждать.

5. Найти количество натуральных чисел, являющихся делителями числа a (включая единицу и само число a), если:

1) $a = 64$;

2) $a = 600$.

Для того чтобы найти количество натуральных делителей числа, необходимо использовать его каноническое разложение на простые множители. Если число $a$ имеет вид $a = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}$, где $p_1, p_2, \ldots, p_n$ – это различные простые множители, а $k_1, k_2, \ldots, k_n$ – их натуральные степени, то общее количество натуральных делителей этого числа (обозначается $\tau(a)$) можно вычислить по формуле:

$\tau(a) = (k_1 + 1)(k_2 + 1)\ldots(k_n + 1)$

Эта формула основана на том, что любой делитель числа $a$ составляется из тех же простых множителей, но взятых в степенях от 0 до той, что в разложении числа $a$.

1) a = 64;

Первым шагом разложим число 64 на простые множители. Число 64 является степенью числа 2.

$64 = 8 \cdot 8 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$

Таким образом, каноническое разложение числа 64 имеет вид $64 = 2^6$. В этом разложении один простой множитель $p_1 = 2$ со степенью $k_1 = 6$.

Теперь применим формулу для нахождения количества делителей:

$\tau(64) = (6 + 1) = 7$

Делителями числа 64 являются: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Их действительно 7.

Ответ: 7

2) a = 600.

Разложим число 600 на простые множители:

$600 = 6 \cdot 100 = (2 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим каноническое разложение:

$600 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2$

В этом разложении три различных простых множителя:

• $p_1 = 2$ со степенью $k_1 = 3$
• $p_2 = 3$ со степенью $k_2 = 1$
• $p_3 = 5$ со степенью $k_3 = 2$

Применим формулу для количества делителей, перемножив увеличенные на единицу степени:

$\tau(600) = (k_1 + 1)(k_2 + 1)(k_3 + 1) = (3 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$

Следовательно, у числа 600 существует 24 натуральных делителя.

Ответ: 24

6. Сформулировать признаки делимости на 6, 8, 12, 15, 125.

Признак делимости на 6
Число делится на $6$, если оно одновременно делится на $2$ и на $3$.

Признак делимости на 8
Число делится на $8$, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на $8$.

Признак делимости на 12
Число делится на $12$, если оно одновременно делится на $3$ и на $4$.

Признак делимости на 15
Число делится на $15$, если оно одновременно делится на $3$ и на $5$.

Признак делимости на 125
Число делится на $125$, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на $125$. То есть, если последние три цифры числа образуют $000$, $125$, $250$, $375$, $500$, $625$, $750$ или $875$.

Признак делимости на 6

Чтобы натуральное число делилось на 6, оно должно делиться одновременно и на 2, и на 3, поскольку $6 = 2 \times 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.
1. Признак делимости на 2: число должно быть четным, то есть его последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8.
2. Признак делимости на 3: сумма всех цифр числа должна делиться на 3.
Следовательно, для делимости на 6 необходимо и достаточно выполнение обоих этих условий.
Пример: рассмотрим число 432.
- Число оканчивается на 2, значит, оно четное и делится на 2.
- Сумма его цифр: $4 + 3 + 2 = 9$. Число 9 делится на 3.
Оба признака выполняются, следовательно, 432 делится на 6. Проверка: $432 / 6 = 72$.

Ответ: Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Если в числе меньше трех цифр, то оно само должно делиться на 8.
Этот признак основан на том, что 1000 делится на 8 без остатка ($1000 = 8 \times 125$). Любое число $N$ можно записать в виде $N = 1000k + m$, где $m$ — это число, образованное тремя последними цифрами числа $N$. Поскольку слагаемое $1000k$ всегда делится на 8, то делимость всего числа $N$ на 8 зависит только от делимости $m$ на 8.
Пример: рассмотрим число 98712.
- Три последние цифры образуют число 112.
- Проверяем делимость 112 на 8: $112 / 8 = 14$.
Так как 112 делится на 8, то и все число 98712 делится на 8.

Ответ: Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Признак делимости на 12

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться одновременно и на 3, и на 4, так как $12 = 3 \times 4$, а числа 3 и 4 взаимно простые.
1. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
2. Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.
Следовательно, для делимости на 12 необходимо и достаточно выполнение обоих этих условий.
Пример: рассмотрим число 2580.
- Сумма цифр: $2 + 5 + 8 + 0 = 15$. Число 15 делится на 3.
- Две последние цифры образуют число 80. Число 80 делится на 4 ($80 / 4 = 20$).
Оба признака выполняются, следовательно, 2580 делится на 12. Проверка: $2580 / 12 = 215$.

Ответ: Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 15

Чтобы число делилось на 15, оно должно делиться одновременно и на 3, и на 5, так как $15 = 3 \times 5$, а числа 3 и 5 взаимно простые.
1. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
2. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.
Следовательно, для делимости на 15 необходимо и достаточно выполнение обоих этих условий.
Пример: рассмотрим число 1455.
- Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
- Сумма его цифр: $1 + 4 + 5 + 5 = 15$. Число 15 делится на 3.
Оба признака выполняются, следовательно, 1455 делится на 15. Проверка: $1455 / 15 = 97$.

Ответ: Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 125

Число делится на 125, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 125. Если в числе меньше трех цифр, то оно само должно делиться на 125.
Этот признак аналогичен признаку делимости на 8 и основан на том, что 1000 делится на 125 без остатка ($1000 = 125 \times 8$). Любое число $N$ можно записать в виде $N = 1000k + m$, где $m$ — это число, образованное тремя последними цифрами числа $N$. Поскольку слагаемое $1000k$ всегда делится на 125, то делимость всего числа $N$ на 125 зависит только от делимости $m$ на 125.
На практике это означает, что число должно оканчиваться на 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 или 875.
Пример: рассмотрим число 12625.
- Три последние цифры образуют число 625.
- Проверяем делимость 625 на 125: $625 / 125 = 5$.
Так как 625 делится на 125, то и все число 12625 делится на 125.

Ответ: Число делится на 125 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 125.