Страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

263. 1) Доказать, что уравнение $15x + 40y = 17$ не имеет целочисленных решений.

2) Найти все целочисленные решения уравнения $4x - 3y = 11$.

1)

Рассмотрим уравнение $15x + 40y = 17$. Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$, где $a = 15$, $b = 40$ и $c = 17$.

Такое уравнение имеет целочисленные решения тогда и только тогда, когда его правая часть $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$.

Найдем НОД для чисел $15$ и $40$. Разложим их на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$40 = 2^3 \cdot 5$

Общим множителем является $5$, следовательно, НОД(15, 40) = 5.

Теперь необходимо проверить, делится ли правая часть уравнения, число $17$, на НОД(15, 40) = 5. Так как $17$ не делится на $5$ без остатка, то условие разрешимости в целых числах не выполняется.

Можно прийти к этому же выводу и другим путем. Преобразуем левую часть уравнения, вынеся общий множитель $5$ за скобки:

$5(3x + 8y) = 17$

Поскольку по условию $x$ и $y$ — целые числа, то и выражение в скобках $(3x + 8y)$ также является целым числом. Это означает, что вся левая часть уравнения $5(3x + 8y)$ должна быть кратна $5$. Однако правая часть уравнения равна $17$. Число $17$ не кратно $5$. Возникает противоречие, из которого следует, что не существует таких целых чисел $x$ и $y$, при которых данное равенство было бы верным.

Ответ: Уравнение $15x + 40y = 17$ не имеет целочисленных решений, так как его левая часть при любых целых $x$ и $y$ делится на 5, а правая часть (17) на 5 не делится.

2)

Требуется найти все целочисленные решения уравнения $4x - 3y = 11$.

Это линейное диофантово уравнение с коэффициентами $a=4$, $b=-3$ и $c=11$.

В первую очередь проверим, существуют ли у него целочисленные решения. Для этого найдем НОД(a, b):

НОД(4, -3) = НОД(4, 3) = 1.

Поскольку правая часть уравнения $c=11$ делится на НОД(4, -3) = 1, уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений.

Далее найдем одно частное решение $(x_0, y_0)$. Это можно сделать методом подбора. Выразим $x$ через $y$:

$4x = 11 + 3y \implies x = \frac{11 + 3y}{4}$

Чтобы $x$ был целым числом, числитель $(11 + 3y)$ должен быть кратен $4$. Начнем подставлять небольшие целые значения $y$.

При $y = 1$, $11 + 3(1) = 14$ (не делится на 4).

При $y = -1$, $11 + 3(-1) = 11 - 3 = 8$. $8$ делится на $4$, значит $x = \frac{8}{4} = 2$.

Таким образом, мы нашли частное решение: $(x_0, y_0) = (2, -1)$.

Проверка: $4(2) - 3(-1) = 8 + 3 = 11$. Равенство верно.

Теперь запишем формулы для общего решения. Для уравнения $ax+by=c$ с частным решением $(x_0, y_0)$ и $d = \text{НОД}(a,b)$, общее решение имеет вид:

$x = x_0 + \frac{b}{d} t$

$y = y_0 - \frac{a}{d} t$

где $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Подставим наши значения: $a=4$, $b=-3$, $d=1$, $x_0=2$, $y_0=-1$.

$x = 2 + \frac{-3}{1}t = 2 - 3t$

$y = -1 - \frac{4}{1}t = -1 - 4t$

Чтобы коэффициенты при параметре $t$ были положительными, можно произвести замену $t = -k$, где $k$ также любое целое число:

$x = 2 - 3(-k) = 2 + 3k$

$y = -1 - 4(-k) = -1 + 4k$

Ответ: $x = 2 + 3t, y = -1 + 4t$, где $t \in \mathbb{Z}$.

264. 1) Доказать, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет целочисленных решений.

2) Доказать, что уравнение $21x^2 - 7y^2 = 9$ не имеет целочисленных решений.

1) Для доказательства того, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет решений в целых числах, воспользуемся методом сравнения по модулю 4.

Рассмотрим правую часть уравнения: $30 = 4 \cdot 7 + 2$. Следовательно, правая часть уравнения при делении на 4 дает остаток 2, то есть $30 \equiv 2 \pmod{4}$.

Таким образом, исходное уравнение в виде сравнения по модулю 4 выглядит так: $x^2 - y^2 \equiv 2 \pmod{4}$.

Теперь выясним, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4. Пусть $n$ — произвольное целое число.

• Если $n$ — четное число, то $n = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$, что сравнимо с 0 по модулю 4: $n^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если $n$ — нечетное число, то $n = 2k + 1$ для некоторого целого $k$. Тогда $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1$, что сравнимо с 1 по модулю 4: $n^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

Итак, квадрат любого целого числа может быть сравним либо с 0, либо с 1 по модулю 4.

Проверим, какие значения может принимать разность $x^2 - y^2$ по модулю 4, зная, что $x^2$ и $y^2$ могут быть сравнимы только с 0 или 1:

• $0 - 0 \equiv 0 \pmod{4}$
• $1 - 0 \equiv 1 \pmod{4}$
• $0 - 1 \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}$
• $1 - 1 \equiv 0 \pmod{4}$

Следовательно, разность квадратов двух целых чисел может быть сравнима только с 0, 1 или 3 по модулю 4. Она никогда не может быть сравнима с 2.

Это приводит к противоречию, так как левая часть уравнения $x^2 - y^2$ не может быть сравнима с 2 по модулю 4, в то время как правая часть, равная 30, сравнима с 2 по модулю 4. Значит, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Уравнение не имеет целочисленных решений.

2) Рассмотрим уравнение $21x^2 - 7y^2 = 9$. Требуется доказать, что оно не имеет решений в целых числах $x$ и $y$.

Обратим внимание на коэффициенты в левой части уравнения. Оба коэффициента, 21 и 7, делятся на 7. Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7(3x^2 - y^2) = 9$

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то $x^2$ и $y^2$ также являются целыми числами. Следовательно, выражение в скобках $3x^2 - y^2$ также является целым числом. Обозначим его как $k = 3x^2 - y^2$, где $k$ — некоторое целое число.

Тогда уравнение принимает вид $7k = 9$.

Из этого следует, что левая часть уравнения, $7k$, как произведение целого числа на 7, должна быть кратна 7. Однако правая часть уравнения, число 9, не делится нацело на 7.

Мы получили противоречие: целое число, кратное 7, не может быть равно 9. Следовательно, не существует таких целых чисел $x$ и $y$, которые бы удовлетворяли исходному уравнению.

Ответ: Уравнение не имеет целочисленных решений.

Найти все целочисленные решения уравнения (265–266).

265. 1) $x^2 - y^2 = 21$; 2) $xy = 5 - x$.

1) $x^2 - y^2 = 21$

Данное уравнение является диофантовым уравнением. Для его решения в целых числах разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$(x-y)(x+y) = 21$

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, то выражения $(x-y)$ и $(x+y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 21, следовательно, они являются парой целочисленных делителей числа 21.

Выпишем все пары целых делителей числа 21:

(1, 21); (21, 1); (3, 7); (7, 3); (-1, -21); (-21, -1); (-3, -7); (-7, -3).

Для каждой пары делителей $(a, b)$, где $a = x-y$ и $b = x+y$, составим и решим систему линейных уравнений.

Сложив уравнения $x-y=a$ и $x+y=b$, получим $2x = a+b$, откуда $x = \frac{a+b}{2}$.

Вычтя первое уравнение из второго, получим $2y = b-a$, откуда $y = \frac{b-a}{2}$.

Чтобы $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы $a+b$ и $b-a$ были четными, что выполняется, если $a$ и $b$ имеют одинаковую четность. Все делители числа 21 (1, 3, 7, 21 и их отрицательные значения) — нечетные числа. Значит, любая пара делителей будет состоять из чисел одинаковой (нечетной) четности, и все решения будут целочисленными.

Рассмотрим последовательно все 8 случаев:

1. Система: $x-y=1$, $x+y=21$. Решение: $x=\frac{1+21}{2}=11$, $y=\frac{21-1}{2}=10$. Пара $(11, 10)$.

2. Система: $x-y=21$, $x+y=1$. Решение: $x=\frac{21+1}{2}=11$, $y=\frac{1-21}{2}=-10$. Пара $(11, -10)$.

3. Система: $x-y=3$, $x+y=7$. Решение: $x=\frac{3+7}{2}=5$, $y=\frac{7-3}{2}=2$. Пара $(5, 2)$.

4. Система: $x-y=7$, $x+y=3$. Решение: $x=\frac{7+3}{2}=5$, $y=\frac{3-7}{2}=-2$. Пара $(5, -2)$.

5. Система: $x-y=-1$, $x+y=-21$. Решение: $x=\frac{-1-21}{2}=-11$, $y=\frac{-21-(-1)}{2}=-10$. Пара $(-11, -10)$.

6. Система: $x-y=-21$, $x+y=-1$. Решение: $x=\frac{-21-1}{2}=-11$, $y=\frac{-1-(-21)}{2}=10$. Пара $(-11, 10)$.

7. Система: $x-y=-3$, $x+y=-7$. Решение: $x=\frac{-3-7}{2}=-5$, $y=\frac{-7-(-3)}{2}=-2$. Пара $(-5, -2)$.

8. Система: $x-y=-7$, $x+y=-3$. Решение: $x=\frac{-7-3}{2}=-5$, $y=\frac{-3-(-7)}{2}=2$. Пара $(-5, 2)$.

Ответ: $(11, 10), (11, -10), (5, 2), (5, -2), (-11, -10), (-11, 10), (-5, -2), (-5, 2)$.

2) $xy = 5 - x$

Для нахождения целочисленных решений преобразуем уравнение. Перенесем член с $x$ в левую часть:

$xy + x = 5$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(y+1) = 5$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, то $x$ и $(y+1)$ также являются целыми. Из полученного уравнения следует, что $x$ должен быть целым делителем числа 5.

Найдем все целые делители числа 5. Это 1, -1, 5, -5.

Рассмотрим каждый из четырех возможных случаев для $x$:

1. Если $x = 1$, то $1 \cdot (y+1) = 5$. Отсюда $y+1 = 5$, и $y = 4$. Получаем решение $(1, 4)$.

2. Если $x = -1$, то $(-1) \cdot (y+1) = 5$. Отсюда $y+1 = -5$, и $y = -6$. Получаем решение $(-1, -6)$.

3. Если $x = 5$, то $5 \cdot (y+1) = 5$. Отсюда $y+1 = 1$, и $y = 0$. Получаем решение $(5, 0)$.

4. Если $x = -5$, то $(-5) \cdot (y+1) = 5$. Отсюда $y+1 = -1$, и $y = -2$. Получаем решение $(-5, -2)$.

Мы рассмотрели все возможные целочисленные значения для $x$, поэтому других решений нет.

Ответ: $(1, 4), (-1, -6), (5, 0), (-5, -2)$.