Страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

266. 1) $3xy + 10x - 13y - 35 = 0;$

2) $3xy + 19x + 10y + 55 = 0;$

3) $x^3 - 6x^2 - xy + 13x + 3y + 7 = 0;$

4) $x^3 - xy - 7x + 2y + 23 = 0.$

1) Данное уравнение $3xy + 10x - 13y - 35 = 0$ является диофантовым уравнением. Для его решения в целых числах применим метод разложения на множители.Сгруппируем слагаемые:$x(3y + 10) - 13y - 35 = 0$Чтобы выделить множитель $(3y + 10)$, преобразуем оставшуюся часть уравнения:$x(3y + 10) - \frac{13}{3}(3y) - 35 = 0$Добавим и вычтем $\frac{13}{3} \cdot 10 = \frac{130}{3}$:$x(3y + 10) - \frac{13}{3}(3y + 10) + \frac{130}{3} - 35 = 0$Сгруппируем множители:$(x - \frac{13}{3})(3y + 10) = 35 - \frac{130}{3}$$(x - \frac{13}{3})(3y + 10) = \frac{105 - 130}{3} = -\frac{25}{3}$Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:$(3x - 13)(3y + 10) = -25$Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(3x - 13)$ и $(3y + 10)$ должны быть целыми делителями числа -25. Делители числа -25: $\pm1, \pm5, \pm25$.Кроме того, для целочисленности $x$ выражение $3x - 13$ должно давать остаток $-13 \pmod 3$, то есть $2 \pmod 3$. Для целочисленности $y$ выражение $3y + 10$ должно давать остаток $10 \pmod 3$, то есть $1 \pmod 3$.Рассмотрим все возможные пары делителей $(a, b)$, где $a \cdot b = -25$:

• Если $3x - 13 = -1$, то $-1 \equiv 2 \pmod 3$. Это возможно. Тогда $3y + 10 = 25$. $25 \equiv 1 \pmod 3$, это также возможно. $3x = 12 \implies x = 4$. $3y = 15 \implies y = 5$. Получаем решение $(4, 5)$.
• Если $3x - 13 = 1$, то $1 \not\equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
• Если $3x - 13 = 5$, то $5 \equiv 2 \pmod 3$. Это возможно. Тогда $3y + 10 = -5$. $-5 \equiv 1 \pmod 3$, это также возможно. $3x = 18 \implies x = 6$. $3y = -15 \implies y = -5$. Получаем решение $(6, -5)$.
• Если $3x - 13 = -5$, то $-5 \not\equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
• Если $3x - 13 = -25$, то $-25 \equiv 2 \pmod 3$. Это возможно. Тогда $3y + 10 = 1$. $1 \equiv 1 \pmod 3$, это также возможно. $3x = -12 \implies x = -4$. $3y = -9 \implies y = -3$. Получаем решение $(-4, -3)$.
• Если $3x - 13 = 25$, то $25 \not\equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.

Ответ: $(4, 5), (6, -5), (-4, -3)$.

2) Решим уравнение $3xy + 19x + 10y + 55 = 0$ аналогично предыдущему.Разложим на множители:$x(3y + 19) + 10y + 55 = 0$$x(3y + 19) + \frac{10}{3}(3y + 19) - \frac{190}{3} + 55 = 0$$(x + \frac{10}{3})(3y + 19) = \frac{190}{3} - 55 = \frac{190 - 165}{3} = \frac{25}{3}$Умножим на 3:$(3x + 10)(3y + 19) = 25$Множители $(3x + 10)$ и $(3y + 19)$ должны быть целыми делителями числа 25: $\pm1, \pm5, \pm25$.Условия для целочисленных решений:$3x + 10 = a \implies 3x = a - 10 \implies a \equiv 10 \pmod 3 \implies a \equiv 1 \pmod 3$.$3y + 19 = b \implies 3y = b - 19 \implies b \equiv 19 \pmod 3 \implies b \equiv 1 \pmod 3$.Проверим пары делителей $(a, b)$, где $a \cdot b = 25$:

• Если $3x + 10 = 1$, то $1 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. Тогда $3y + 19 = 25$. $25 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. $3x = -9 \implies x = -3$. $3y = 6 \implies y = 2$. Решение: $(-3, 2)$.
• Если $3x + 10 = 5$, то $5 \not\equiv 1 \pmod 3$. Не подходит.
• Если $3x + 10 = 25$, то $25 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. Тогда $3y + 19 = 1$. $1 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. $3x = 15 \implies x = 5$. $3y = -18 \implies y = -6$. Решение: $(5, -6)$.
• Если $3x + 10 = -5$, то $-5 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. Тогда $3y + 19 = -5$. $-5 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. $3x = -15 \implies x = -5$. $3y = -24 \implies y = -8$. Решение: $(-5, -8)$.
• Остальные делители $-1, -25$ для $3x+10$ не удовлетворяют условию $a \equiv 1 \pmod 3$.

Ответ: $(-3, 2), (5, -6), (-5, -8)$.

3) В уравнении $x^3 - 6x^2 - xy + 13x + 3y + 7 = 0$ выразим $y$ через $x$.$x^3 - 6x^2 + 13x + 7 = xy - 3y$$y(x - 3) = x^3 - 6x^2 + 13x + 7$Если $x=3$, то левая часть равна $19$, а правая $0$. Значит $x \neq 3$.$y = \frac{x^3 - 6x^2 + 13x + 7}{x-3}$Выполним деление многочлена на двучлен, чтобы выделить целую часть:$y = x^2 - 3x + 4 + \frac{19}{x-3}$Для того чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{19}{x-3}$ была целым числом. Это значит, что $(x-3)$ должен быть делителем числа 19.Число 19 простое, его делители: $1, -1, 19, -19$.Рассмотрим все 4 случая:

1. $x - 3 = 1 \implies x = 4$. Тогда $y = 4^2 - 3(4) + 4 + 19 = 16 - 12 + 4 + 19 = 27$. Решение: $(4, 27)$.
2. $x - 3 = -1 \implies x = 2$. Тогда $y = 2^2 - 3(2) + 4 - 19 = 4 - 6 + 4 - 19 = -17$. Решение: $(2, -17)$.
3. $x - 3 = 19 \implies x = 22$. Тогда $y = 22^2 - 3(22) + 4 + 1 = 484 - 66 + 5 = 423$. Решение: $(22, 423)$.
4. $x - 3 = -19 \implies x = -16$. Тогда $y = (-16)^2 - 3(-16) + 4 - 1 = 256 + 48 + 3 = 307$. Решение: $(-16, 307)$.

Ответ: $(4, 27), (2, -17), (22, 423), (-16, 307)$.

4) В уравнении $x^3 - xy - 7x + 2y + 23 = 0$ выразим $y$ через $x$.$x^3 - 7x + 23 = xy - 2y$$y(x - 2) = x^3 - 7x + 23$Если $x=2$, то левая часть равна $17$, а правая $0$. Значит $x \neq 2$.$y = \frac{x^3 - 7x + 23}{x-2}$Выделим целую часть делением многочлена:$y = x^2 + 2x - 3 + \frac{17}{x-2}$Для целочисленности $y$ выражение $(x-2)$ должно быть делителем числа 17.Число 17 простое, его делители: $1, -1, 17, -17$.Рассмотрим все 4 случая:

1. $x - 2 = 1 \implies x = 3$. Тогда $y = 3^2 + 2(3) - 3 + 17 = 9 + 6 - 3 + 17 = 29$. Решение: $(3, 29)$.
2. $x - 2 = -1 \implies x = 1$. Тогда $y = 1^2 + 2(1) - 3 - 17 = 1 + 2 - 3 - 17 = -17$. Решение: $(1, -17)$.
3. $x - 2 = 17 \implies x = 19$. Тогда $y = 19^2 + 2(19) - 3 + 1 = 361 + 38 - 2 = 397$. Решение: $(19, 397)$.
4. $x - 2 = -17 \implies x = -15$. Тогда $y = (-15)^2 + 2(-15) - 3 - 1 = 225 - 30 - 4 = 191$. Решение: $(-15, 191)$.

Ответ: $(3, 29), (1, -17), (19, 397), (-15, 191)$.

267. 1) Найти все натуральные числа x, y, при которых является верным равенство $2x^2 + 5xy - 12y^2 = 6$.

2) Найти все целые положительные числа x, y, при которых является верным равенство $2x^2 - xy - y^2 + 2x + 7y = 28$.

1) Дано уравнение $2x^2 + 5xy - 12y^2 = 6$, где $x$ и $y$ — натуральные числа.

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого рассмотрим ее как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. $2x^2 + (5y)x - 12y^2 = 0$ Найдем дискриминант: $\Delta = (5y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12y^2) = 25y^2 + 96y^2 = 121y^2 = (11y)^2$.

Корни уравнения для $x$ равны: $x_1 = \frac{-5y + \sqrt{(11y)^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5y + 11y}{4} = \frac{6y}{4} = \frac{3y}{2}$ $x_2 = \frac{-5y - \sqrt{(11y)^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5y - 11y}{4} = \frac{-16y}{4} = -4y$

Следовательно, левую часть можно разложить на множители следующим образом: $2(x - \frac{3y}{2})(x - (-4y)) = (2x - 3y)(x + 4y)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $(2x - 3y)(x + 4y) = 6$.

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$, то множитель $(x + 4y)$ является целым положительным числом. Более того, $x + 4y \ge 1 + 4 \cdot 1 = 5$. Так как произведение $(2x - 3y)(x + 4y)$ равно положительному числу 6, и $(x + 4y) > 0$, то и множитель $(2x - 3y)$ должен быть положительным целым числом.

Рассмотрим все пары целых положительных множителей числа 6: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1). Учитывая условие $x + 4y \ge 5$, нам подходит только та пара, в которой второй множитель не меньше 5. Это пара (1, 6).

Таким образом, мы получаем систему уравнений: $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + 4y = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 6 - 4y$. Подставим это выражение в первое уравнение: $2(6 - 4y) - 3y = 1$ $12 - 8y - 3y = 1$ $12 - 11y = 1$ $11y = 11$ $y = 1$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$: $x = 6 - 4(1) = 2$.

Мы получили пару натуральных чисел $(x, y) = (2, 1)$. Это единственное решение.

Ответ: $(2, 1)$.

2) Дано уравнение $2x^2 - xy - y^2 + 2x + 7y = 28$, где $x$ и $y$ — целые положительные числа (натуральные).

Попробуем разложить левую часть на множители. Сначала сгруппируем и разложим квадратичную часть $2x^2 - xy - y^2$: $2x^2 - 2xy + xy - y^2 = 2x(x-y) + y(x-y) = (2x+y)(x-y)$.

Теперь уравнение выглядит так: $(x-y)(2x+y) + 2x + 7y = 28$.

Попытаемся представить всю левую часть в виде произведения двух скобок. Для этого ищутся такие константы $a$ и $b$, чтобы выражение $(x-y+a)(2x+y+b)$ было похоже на левую часть уравнения. $(x-y+a)(2x+y+b) = (x-y)(2x+y) + b(x-y) + a(2x+y) + ab$ $= (x-y)(2x+y) + (2a+b)x + (a-b)y + ab$.

Сравнивая с нашим уравнением, мы хотим, чтобы линейная часть совпадала: $(2a+b)x + (a-b)y = 2x + 7y$. Это дает нам систему уравнений для $a$ и $b$: $\begin{cases} 2a + b = 2 \\ a - b = 7 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $3a = 9$, откуда $a=3$. Подставив $a=3$ во второе уравнение, находим $b = a - 7 = 3 - 7 = -4$.

Теперь наше исходное уравнение можно переписать, используя найденные $a$ и $b$: $(x-y+3)(2x+y-4) - ab = 28$ $(x-y+3)(2x+y-4) - (3)(-4) = 28$ $(x-y+3)(2x+y-4) + 12 = 28$ $(x-y+3)(2x+y-4) = 16$

Пусть $U = x-y+3$ и $V = 2x+y-4$. $U$ и $V$ — целые числа, произведение которых равно 16. Рассмотрим сумму $U+V = (x-y+3)+(2x+y-4) = 3x-1$. Поскольку $x$ — натуральное число ($x \ge 1$), то $3x-1 \ge 3(1)-1 = 2$.

Пары целых множителей числа 16: (1, 16), (2, 8), (4, 4), (8, 2), (16, 1) и соответствующие им отрицательные пары. Рассмотрим положительные пары $(U, V)$ и проверим условие $U+V \ge 2$:

• $(U,V) = (1, 16)$: $U+V = 17 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 1 \\ 2x+y-4 = 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = -2 \\ 2x+y = 20 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=18 \implies x=6$. Тогда $y=x+2=8$. Решение $(6, 8)$ подходит.
• $(U,V) = (2, 8)$: $U+V = 10 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 2 \\ 2x+y-4 = 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = -1 \\ 2x+y = 12 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=11$. $x$ не целое, нет решений.
• $(U,V) = (4, 4)$: $U+V = 8 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 4 \\ 2x+y-4 = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = 1 \\ 2x+y = 8 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=9 \implies x=3$. Тогда $y=x-1=2$. Решение $(3, 2)$ подходит.
• $(U,V) = (8, 2)$: $U+V = 10 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 8 \\ 2x+y-4 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = 5 \\ 2x+y = 6 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=11$. $x$ не целое, нет решений.
• $(U,V) = (16, 1)$: $U+V = 17 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 16 \\ 2x+y-4 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = 13 \\ 2x+y = 5 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=18 \implies x=6$. Тогда $y=x-13 = -7$. $y$ не положительное, нет решений.

Отрицательные пары множителей (например, (-1, -16)) дадут отрицательную сумму $U+V$, что противоречит условию $U+V \ge 2$. Следовательно, других решений нет.

Ответ: $(6, 8), (3, 2)$.

268. Доказать, что число $333333^2 + 777777^3$ делится на 37.

Для того чтобы доказать, что число $333333^2 + 777777^3$ делится на 37, мы покажем, что каждое из слагаемых в этом выражении делится на 37.

Сначала представим числа 333333 и 777777 в виде произведений:

$333333 = 3 \times 111111$

$777777 = 7 \times 111111$

Оба числа являются произведением некоторого целого числа и 111111. Проверим, делится ли число 111111 на 37. Для этого заметим, что число 111 кратно 37:

$111 = 3 \times 37$

Теперь представим число 111111 через 111:

$111111 = 111000 + 111 = 111 \times 1000 + 111 = 111 \times (1000 + 1) = 111 \times 1001$

Подставив в это равенство выражение для 111, получаем:

$111111 = (3 \times 37) \times 1001 = 37 \times (3 \times 1001) = 37 \times 3003$

Это означает, что число 111111 делится на 37 без остатка.

Поскольку 111111 делится на 37, то и числа 333333 и 777777 также делятся на 37:

$333333 = 3 \times (37 \times 3003)$, следовательно, 333333 делится на 37.

$777777 = 7 \times (37 \times 3003)$, следовательно, 777777 делится на 37.

Если число делится на некоторое другое число, то любая его натуральная степень также будет делиться на это число. Таким образом:

Слагаемое $333333^2$ делится на 37.

Слагаемое $777777^3$ делится на 37.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 37, также делится на 37. Следовательно, выражение $333333^2 + 777777^3$ делится на 37.

Для формального доказательства последнего шага, пусть $333333 = 37k$ и $777777 = 37m$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа. Тогда исходное выражение равно:

$(37k)^2 + (37m)^3 = 37^2k^2 + 37^3m^3 = 37 \times (37k^2 + 37^2m^3)$

Так как выражение в скобках является целым числом, вся сумма делится на 37, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Число $333333^2 + 777777^3$ делится на 37.

269. Доказать, что число $a$ делится на $m$, если:

1) $a = 25^{10} + 7 \cdot 5^{18}$, $m = 32$;

2) $a = 10^{15} + 10^{20} - 92$, $m = 18$;

3) $a = 86^7 - 12^5 - 38^6$, $m = 10$.

1) Чтобы доказать, что $a = 25^{10} + 7 \cdot 5^{18}$ делится на $m = 32$, преобразуем выражение для $a$.
Представим $25$ как $5^2$:
$a = (5^2)^{10} + 7 \cdot 5^{18} = 5^{20} + 7 \cdot 5^{18}$
Вынесем общий множитель $5^{18}$ за скобки:
$a = 5^{18}(5^2 + 7) = 5^{18}(25 + 7) = 5^{18} \cdot 32$
Поскольку число $a$ является произведением целого числа $5^{18}$ и числа $3

270. Найти последнюю цифру числа a, если:

1) $a = 72^{125} + 43^{421}$

2) $a = 43^{43} - 17^{17}$

1) Для нахождения последней цифры числа $a = 72^{125} + 43^{421}$ мы найдем последние цифры каждого из слагаемых, а затем последнюю цифру их суммы. Последняя цифра результата возведения в степень зависит только от последней цифры основания.

Найдем последнюю цифру числа $72^{125}$. Она такая же, как и последняя цифра числа $2^{125}$. Рассмотрим, как меняются последние цифры у степеней числа 2:
$2^1$ оканчивается на 2
$2^2$ оканчивается на 4
$2^3$ оканчивается на 8
$2^4$ оканчивается на 6
$2^5$ оканчивается на 2
Последовательность последних цифр (2, 4, 8, 6) является циклической с периодом 4. Чтобы найти последнюю цифру для $2^{125}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 125 на 4:
$125 = 4 \cdot 31 + 1$.
Остаток равен 1, это значит, что последняя цифра числа $72^{125}$ будет такой же, как и у $2^1$, то есть 2.

Найдем последнюю цифру числа $43^{421}$. Она совпадает с последней цифрой числа $3^{421}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 3:
$3^1$ оканчивается на 3
$3^2$ оканчивается на 9
$3^3$ оканчивается на 7
$3^4$ оканчивается на 1
$3^5$ оканчивается на 3
Последовательность последних цифр (3, 9, 7, 1) также циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 421 на 4:
$421 = 4 \cdot 105 + 1$.
Остаток равен 1, следовательно, последняя цифра $43^{421}$ такая же, как у $3^1$, то есть 3.

Последняя цифра числа $a$ равна последней цифре суммы $2 + 3 = 5$.
Ответ: 5.

2) Для нахождения последней цифры числа $a = 43^{43} - 17^{17}$ мы найдем последние цифры уменьшаемого и вычитаемого, а затем найдем последнюю цифру их разности.

Найдем последнюю цифру числа $43^{43}$. Она равна последней цифре $3^{43}$. Период цикла последних цифр у степеней тройки равен 4 (3, 9, 7, 1). Найдем остаток от деления 43 на 4:
$43 = 4 \cdot 10 + 3$.
Остаток равен 3. Значит, последняя цифра $43^{43}$ совпадает с третьей в цикле, то есть с последней цифрой $3^3$, которая равна 7.

Найдем последнюю цифру числа $17^{17}$. Она равна последней цифре $7^{17}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:
$7^1$ оканчивается на 7
$7^2$ оканчивается на 9
$7^3$ оканчивается на 3
$7^4$ оканчивается на 1
$7^5$ оканчивается на 7
Последовательность последних цифр (7, 9, 3, 1) циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 17 на 4:
$17 = 4 \cdot 4 + 1$.
Остаток равен 1. Это значит, что последняя цифра $17^{17}$ совпадает с первой в цикле, то есть с последней цифрой $7^1$, которая равна 7.

Последняя цифра числа $a$ равна последней цифре разности (...7) − (...7).
Так как $7 - 7 = 0$, последняя цифра числа $a$ равна 0.
Ответ: 0.

271. Доказать, что число $13n^2 + 1$ не делится на 3 ни при каком $n \in \mathbb{N}$.

Для доказательства того, что число $13n^2 + 1$ не делится на 3 ни при каком натуральном $n \in \mathbb{N}$, воспользуемся методом анализа остатков при делении на 3 (сравнениями по модулю 3).

Нам необходимо показать, что остаток от деления выражения $13n^2 + 1$ на 3 никогда не равен нулю.

Сперва упростим выражение, рассмотрев его коэффициенты по модулю 3. Число 13 при делении на 3 дает в остатке 1, так как $13 = 3 \cdot 4 + 1$. Это можно записать в виде сравнения: $13 \equiv 1 \pmod{3}$.

Подставим это в наше выражение: $13n^2 + 1 \equiv 1 \cdot n^2 + 1 \pmod{3} \equiv n^2 + 1 \pmod{3}$.

Теперь задача сводится к определению остатка от деления выражения $n^2 + 1$ на 3. Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1 или 2. Рассмотрим последовательно все три возможных случая.

Случай 1: $n$ делится на 3 без остатка. Это означает, что $n \equiv 0 \pmod{3}$. Тогда $n^2 + 1 \equiv 0^2 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$. В этом случае остаток равен 1.

Случай 2: $n$ при делении на 3 дает остаток 1. Это означает, что $n \equiv 1 \pmod{3}$. Тогда $n^2 + 1 \equiv 1^2 + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$. В этом случае остаток равен 2.

Случай 3: $n$ при делении на 3 дает остаток 2. Это означает, что $n \equiv 2 \pmod{3}$. Тогда $n^2 + 1 \equiv 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \equiv 2 \pmod{3}$. В этом случае остаток также равен 2.

Мы рассмотрели все возможные остатки для $n$ при делении на 3. Во всех случаях остаток от деления выражения $13n^2 + 1$ на 3 равен либо 1, либо 2. Он никогда не равен 0.

Ответ: Поскольку остаток от деления числа $13n^2 + 1$ на 3 никогда не равен нулю ни при каком натуральном значении $n$, доказано, что данное число не делится на 3.

272. Доказать, что число $n^3 + 3n^2 + 8n + 82$ не делится на 3 ни при каком $n \in N$.

Чтобы доказать, что число $n^3 + 3n^2 + 8n + 82$ не делится на 3 ни при каком натуральном $n \in N$, можно рассмотреть остаток от деления данного выражения на 3. Приведем два способа доказательства.

Способ 1: Метод перебора остатков

Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1 или 2. Проверим каждый из этих случаев, используя сравнения по модулю 3.

Обозначим данное выражение как $A(n) = n^3 + 3n^2 + 8n + 82$. Упростим его по модулю 3, используя свойства сравнений:

• Слагаемое $3n^2$ всегда делится на 3, поэтому $3n^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Коэффициент 8 при делении на 3 дает остаток 2, поэтому $8n \equiv 2n \pmod{3}$.
• Число 82 при делении на 3 дает остаток 1 (так как $82 = 3 \cdot 27 + 1$), поэтому $82 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, все выражение $A(n)$ по модулю 3 эквивалентно следующему:

$A(n) \equiv n^3 + 0 + 2n + 1 \pmod{3}$

$A(n) \equiv n^3 + 2n + 1 \pmod{3}$

Теперь рассмотрим все три возможных случая для $n$:

• Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $A(n) \equiv 0^3 + 2 \cdot 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $A(n) \equiv 1^3 + 2 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $A(n) \equiv 2^3 + 2 \cdot 2 + 1 = 8 + 4 + 1 = 13 \equiv 1 \pmod{3}$.

Во всех возможных случаях остаток от деления выражения на 3 равен 1. Следовательно, оно никогда не делится на 3 нацело.

Способ 2: Алгебраические преобразования

Преобразуем исходное выражение $A(n) = n^3 + 3n^2 + 8n + 82$, выделив в нем слагаемые, которые гарантированно делятся на 3.

Воспользуемся известным фактом: произведение трех последовательных целых чисел $(n-1)n(n+1) = n^3 - n$ всегда делится на 3. Выделим это выражение в $A(n)$:

$A(n) = (n^3 - n) + n + 3n^2 + 8n + 82$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$A(n) = (n^3 - n) + 3n^2 + (n + 8n) + 82$

$A(n) = (n^3 - n) + 3n^2 + 9n + 82$

Теперь представим число 82 в виде суммы $81 + 1$, где 81 кратно 3:

$A(n) = (n^3 - n) + 3n^2 + 9n + 81 + 1$

Рассмотрим полученную сумму. Каждое из первых четырех слагаемых делится на 3:

• $(n^3 - n)$ делится на 3 как произведение трех последовательных чисел.
• $3n^2$ делится на 3.
• $9n$ делится на 3.
• $81$ делится на 3.

Поскольку сумма всех этих слагаемых делится на 3, остаток от деления всего выражения $A(n)$ на 3 определяется последним слагаемым, которое равно 1.

Ответ:

При любом натуральном $n$ выражение $n^3 + 3n^2 + 8n + 82$ при делении на 3 дает остаток 1. Следовательно, данное число не делится на 3 ни при каком $n \in N$, что и требовалось доказать.

273. Доказать, что число $11n^3 + n$ делится на 6 при любом $n \in N$.

Требуется доказать, что выражение $11n^3 + n$ делится на 6 для любого натурального числа $n \in \mathbb{N}$.

Для того чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3, так как числа 2 и 3 являются взаимно простыми и $6 = 2 \cdot 3$. Докажем это с помощью алгебраических преобразований.

Преобразуем исходное выражение, представив коэффициент 11 в виде разности $12 - 1$:

$11n^3 + n = (12 - 1)n^3 + n = 12n^3 - n^3 + n = 12n^3 - (n^3 - n)$

Теперь проанализируем полученное выражение $12n^3 - (n^3 - n)$. Оно состоит из двух членов: уменьшаемого $12n^3$ и вычитаемого $(n^3 - n)$.

1. Первый член, $12n^3$, очевидно делится на 6 без остатка при любом натуральном $n$, так как один из его множителей, 12, делится на 6. ($12n^3 = 6 \cdot 2n^3$).

2. Второй член, $(n^3 - n)$, разложим на множители, вынеся $n$ за скобки и применив формулу разности квадратов:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Переставив множители для наглядности, получим $(n-1)n(n+1)$. Это выражение представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. В любой такой тройке чисел всегда есть как минимум одно четное число (то есть число, делящееся на 2) и ровно одно число, кратное трем. Поэтому их произведение гарантированно делится на $2 \cdot 3 = 6$.

Таким образом, мы представили исходное выражение $11n^3 + n$ в виде разности двух выражений, $12n^3$ и $(n-1)n(n+1)$, каждое из которых делится на 6. Разность двух чисел, делящихся на 6, также всегда делится на 6.

Это доказывает, что число $11n^3 + n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

274. Доказать, что при любых натуральных m и n число $(3m + 5n + 7)^3(7m + n + 2)^4$ делится на 8.

Чтобы доказать, что выражение $(3m + 5n + 7)^3(7m + n + 2)^4$ делится на 8 при любых натуральных $m$ и $n$, проанализируем четность множителей этого выражения.

Обозначим первый множитель как $A = 3m + 5n + 7$, а второй как $B = 7m + n + 2$. Тогда исходное выражение имеет вид $A^3 B^4$. Для делимости на 8 нам нужно показать, что в произведении есть достаточное количество двоек.

Рассмотрим сумму этих двух выражений, $A$ и $B$: $A + B = (3m + 5n + 7) + (7m + n + 2) = 10m + 6n + 9$.

Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то $10m$ и $6n$ всегда являются четными числами. Их сумма $10m + 6n$ также всегда четна. Если к четному числу прибавить нечетное число 9, то результат всегда будет нечетным.

Следовательно, сумма $A + B$ всегда является нечетным числом.

Сумма двух целых чисел является нечетной тогда и только тогда, когда одно из слагаемых четное, а другое — нечетное. Это означает, что для любой пары натуральных чисел $m$ и $n$ одно из чисел, $A$ или $B$, будет четным, а другое — нечетным.

Теперь рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $A = 3m + 5n + 7$ является четным числом.

Если $A$ — четное, то его можно представить в виде $A = 2k$ для некоторого целого числа $k$. В этом случае исходное выражение будет равно: $(2k)^3 B^4 = 8k^3 B^4$.

Поскольку это выражение содержит множитель 8, оно делится на 8 нацело.

Случай 2: $B = 7m + n + 2$ является четным числом.

Если $B$ — четное, то его можно представить в виде $B = 2j$ для некоторого целого числа $j$. В этом случае исходное выражение будет равно: $A^3 (2j)^4 = A^3 \cdot 16j^4 = 8 \cdot (2A^3 j^4)$.

Это выражение также содержит множитель 8 и, следовательно, делится на 8 нацело.

Поскольку при любых натуральных $m$ и $n$ обязательно выполняется один из этих двух случаев, исходное выражение всегда будет делиться на 8. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при любых натуральных $m$ и $n$ число $(3m + 5n + 7)^3(7m + n + 2)^4$ делится на 8.

275. Доказать, что если целое число $m - 1$ делится на 9, то число $m^3 - 1$ делится на 27.

По условию задачи, целое число $m-1$ делится на 9. Это означает, что существует такое целое число $k$, что выполняется равенство:

$m - 1 = 9k$

Из этого равенства мы можем выразить $m$:

$m = 9k + 1$

Теперь рассмотрим выражение $m^3 - 1$, делимость которого на 27 нам необходимо доказать. Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$m^3 - 1 = (m-1)(m^2+m+1)$

Мы уже знаем, что первый множитель $(m-1)$ делится на 9, так как $m-1 = 9k$.

Теперь проанализируем второй множитель $(m^2+m+1)$, подставив в него выражение для $m$:

$m^2 + m + 1 = (9k+1)^2 + (9k+1) + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(81k^2 + 18k + 1) + (9k+1) + 1 = 81k^2 + (18k+9k) + (1+1+1) = 81k^2 + 27k + 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$m^2+m+1 = 3(27k^2 + 9k + 1)$

Из этого следует, что второй множитель $(m^2+m+1)$ делится на 3.

Теперь вернемся к исходному выражению $m^3 - 1$ и подставим полученные результаты для обоих множителей:

$m^3 - 1 = (m-1)(m^2+m+1) = (9k) \cdot (3(27k^2 + 9k + 1))$

Перемножим числовые коэффициенты:

$m^3 - 1 = 27 \cdot k(27k^2 + 9k + 1)$

Поскольку $k$ — целое число, то выражение $k(27k^2 + 9k + 1)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $m^3 - 1$ представляет собой произведение числа 27 на целое число, а это означает, что $m^3 - 1$ делится на 27 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если целое число $m-1$ делится на 9, то число $m^3-1$ делится на 27.

276. Найти целочисленные решения уравнения:

1) $3x + 4y = 18;$

2) $9x - 7y = 4.$

1) Решим в целых числах уравнение $3x + 4y = 18$.

Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$. Решение в целых числах существует, если наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$ делит свободный член $c$. В нашем случае $a=3, b=4, c=18$. НОД(3, 4) = 1, и 1 делит 18, следовательно, целочисленные решения существуют.

Для нахождения решений выразим одну из переменных через другую. Выразим $x$:

$3x = 18 - 4y$

$x = \frac{18 - 4y}{3} = 6 - \frac{4y}{3}$

Чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы $\frac{4y}{3}$ было целым. Так как 4 и 3 — взаимно простые числа, $y$ должен быть кратен 3. Пусть $y = 3k$, где $k$ — произвольное целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Подставим это в выражение для $x$:

$x = 6 - \frac{4(3k)}{3} = 6 - 4k$

Таким образом, общее решение уравнения в целых числах задается формулами:

$x = 6 - 4k, \quad y = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка: $3(6 - 4k) + 4(3k) = 18 - 12k + 12k = 18$. Равенство $18=18$ верно для любого $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 6 - 4k, y = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим в целых числах уравнение $9x - 7y = 4$.

Это линейное диофантово уравнение. НОД(9, 7) = 1. Так как 1 делит 4, уравнение имеет целочисленные решения.

Выразим $y$ через $x$:

$7y = 9x - 4$

$y = \frac{9x - 4}{7}$

Чтобы найти условие целочисленности для $y$, выделим в числителе слагаемое, кратное 7. Для этого представим $9x$ как $7x + 2x$:

$y = \frac{7x + 2x - 4}{7} = \frac{7x}{7} + \frac{2x - 4}{7} = x + \frac{2(x - 2)}{7}$

Для того чтобы $y$ был целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{2(x - 2)}{7}$ была целой. Так как 2 и 7 взаимно просты, выражение $x - 2$ должно делиться на 7. Пусть $x - 2 = 7k$, где $k$ — произвольное целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Из этого равенства находим $x$:

$x = 2 + 7k$

Теперь подставим $x = 2 + 7k$ в выражение $y = x + \frac{2(x - 2)}{7}$. Зная, что $x-2 = 7k$, получаем:

$y = (2 + 7k) + \frac{2(7k)}{7} = 2 + 7k + 2k = 2 + 9k$

Таким образом, общее решение уравнения в целых числах:

$x = 2 + 7k, \quad y = 2 + 9k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка: $9(2 + 7k) - 7(2 + 9k) = 18 + 63k - 14 - 63k = 4$. Равенство $4=4$ верно для любого $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2 + 7k, y = 2 + 9k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

277. Доказать, что не имеет решений в целых числах уравнение:

1) $13x^2 + 1 = 3y^2$;

2) $9x^2 = y^2 + 74$.

1) Для доказательства того, что уравнение $13x^2 + 1 = 3y^2$ не имеет решений в целых числах ($x, y \in \mathbb{Z}$), воспользуемся методом сравнений по модулю.

Рассмотрим данное уравнение по модулю 3. $13x^2 + 1 \equiv 3y^2 \pmod{3}$.

Так как $3y^2$ делится на 3, то $3y^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Коэффициент $13$ при делении на 3 дает остаток 1, то есть $13 \equiv 1 \pmod{3}$. Подставив эти значения в наше сравнение, получим: $1 \cdot x^2 + 1 \equiv 0 \pmod{3}$, что эквивалентно $x^2 \equiv -1 \pmod{3}$ или $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$.

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 3. Любое целое число $x$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен. Поскольку сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений в целых числах, то и исходное уравнение $13x^2 + 1 = 3y^2$ не может иметь решений в целых числах.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений в целых числах.

2) Для доказательства того, что уравнение $9x^2 = y^2 + 74$ не имеет решений в целых числах ($x, y \in \mathbb{Z}$), преобразуем его и проанализируем делимость.

Перенесем $y^2$ в левую часть, чтобы получить разность квадратов: $9x^2 - y^2 = 74$ $(3x)^2 - y^2 = 74$.

Разложим левую часть на множители: $(3x - y)(3x + y) = 74$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(3x - y)$ и $(3x + y)$ также являются целыми числами. Пусть $A = 3x - y$ и $B = 3x + y$. Эти числа являются делителями числа 74.

Рассмотрим разность этих двух множителей: $B - A = (3x + y) - (3x - y) = 2y$. Так как $y$ — целое число, разность $B - A$ всегда является четным числом. Если разность двух целых чисел $A$ и $B$ четна, это означает, что они имеют одинаковую четность (то есть либо оба четные, либо оба нечетные).

Теперь посмотрим на их произведение: $A \cdot B = 74$. Произведение 74 — четное число, значит, по крайней мере один из множителей ($A$ или $B$) должен быть четным. Так как мы установили, что $A$ и $B$ имеют одинаковую четность, то они не могут быть оба нечетными. Следовательно, и $A$, и $B$ должны быть четными числами.

Если $A$ и $B$ оба четные, то их произведение $A \cdot B$ должно быть кратно 4 (так как $A=2k$, $B=2m$, $A \cdot B = 4km$). Однако число $74$ не делится нацело на 4 ($74 = 4 \cdot 18 + 2$).

Мы пришли к противоречию. С одной стороны, из структуры множителей следует, что они оба должны быть четными. С другой стороны, их произведение 74 не делится на 4, что невозможно для двух четных чисел. Это противоречие доказывает, что не существует таких целых чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы исходному уравнению.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений в целых числах.

278. Доказать, что число $a$ делится на $m$, если:

1) $a = 10^{37} - 199$, $m = 99$;

2) $a = 2^{25} + 1$, $m = 33$.

1) a = 10³⁷ - 199, m = 99;

Чтобы доказать, что число $a$ делится на $m=99$, необходимо показать, что $a \equiv 0 \pmod{99}$. Воспользуемся свойствами сравнений по модулю.

Сначала найдем остаток от деления $10^{37}$ на $99$. Заметим, что $10^2 = 100$, а $100 \equiv 1 \pmod{99}$.

Поскольку показатель степени $37$ — нечетное число, представим его как $37 = 2 \cdot 18 + 1$.

$10^{37} = 10^{2 \cdot 18 + 1} = (10^2)^{18} \cdot 10^1$.

Используя свойство сравнений, получаем:

$10^{37} \equiv 1^{18} \cdot 10 \equiv 10 \pmod{99}$.

Теперь найдем остаток от деления $199$ на $99$:

$199 = 2 \cdot 99 + 1 \equiv 1 \pmod{99}$.

Теперь мы можем найти остаток от деления всего выражения $a$:

$a = 10^{37} - 199 \equiv 10 - 1 = 9 \pmod{99}$.

Поскольку остаток от деления $a$ на $99$ равен $9$, а не $0$, то число $a$ не делится на $99$ без остатка. Таким образом, исходное утверждение неверно, вероятно, в условии задачи содержится опечатка. Например, если бы показатель степени был четным, скажем $38$, то $10^{38} \equiv 1 \pmod{99}$, и тогда $a = 10^{38} - 199 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{99}$, что означало бы делимость на $99$.

Ответ: Утверждение в задаче неверно, так как число $a = 10^{37} - 199$ не делится на $99$.

2) a = 2²⁵ + 1, m = 33;

Для доказательства того, что $a = 2^{25} + 1$ делится на $m = 33$, можно использовать формулу суммы нечетных степеней: $x^n + y^n$ делится на $x+y$, если показатель степени $n$ является нечетным числом.

Представим число $a$ в виде, подходящем для применения этой формулы:

$a = 2^{25} + 1 = (2^5)^5 + 1^5$.

В этом выражении мы имеем $x = 2^5$, $y = 1$ и $n=5$. Поскольку степень $n=5$ — нечетное число, то выражение $(2^5)^5 + 1^5$ должно делиться на сумму оснований $2^5 + 1$.

Вычислим значение этого делителя:

$2^5 + 1 = 32 + 1 = 33$.

Таким образом, мы показали, что $a = 2^{25} + 1$ делится на $33$.

Ответ: Утверждение верно, число $a$ делится на $m$.

279. Найти остаток от деления числа a на m, если:

1) $a = 10^{245} + 123456789, m=11;$

2) $a = 7 \cdot 2^{25} + 13 \cdot 14^9, m=5.$

1) a = 10²⁴⁵ + 123456789, m = 11;

Чтобы найти остаток от деления числа $a$ на $m=11$, мы воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Остаток от деления суммы равен остатку от суммы остатков по тому же модулю. Это можно записать так: $a \pmod{11} = (10^{245} \pmod{11} + 123456789 \pmod{11}) \pmod{11}$.

Сначала вычислим остаток для первого слагаемого, $10^{245}$. Так как $10 = 11 - 1$, то $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Возведем обе части этого сравнения в степень $245$:
$10^{245} \equiv (-1)^{245} \pmod{11}$.
Поскольку степень $245$ нечетная, $(-1)^{245} = -1$. Таким образом, $10^{245} \equiv -1 \pmod{11}$. В качестве остатка принято брать наименьшее неотрицательное число, поэтому остаток $-1$ по модулю $11$ эквивалентен остатку $10$ (так как $-1+11=10$).

Далее вычислим остаток для второго слагаемого, $123456789$. Применим признак делимости на $11$: число сравнимо по модулю $11$ со своей знакопеременной суммой цифр, взятых с права налево. Для числа $123456789$ эта сумма равна:
$9 - 8 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1 = 5$.
Значит, $123456789 \equiv 5 \pmod{11}$.

Теперь сложим найденные остатки слагаемых:
$a \equiv 10 + 5 \pmod{11}$,
$a \equiv 15 \pmod{11}$.
Поскольку $15$ при делении на $11$ дает остаток $4$ ($15 = 1 \cdot 11 + 4$), то $a \equiv 4 \pmod{11}$.

Ответ: 4

2) a = 7 · 2²⁵ + 13 · 14⁹, m = 5.

Для нахождения остатка от деления $a$ на $m=5$, мы также воспользуемся арифметикой по модулю $5$.

Сначала заменим все множители и основания степеней в выражении на их остатки от деления на $5$:
$7 \equiv 2 \pmod{5}$
$13 \equiv 3 \pmod{5}$
$14 \equiv 4 \pmod{5}$ или, что удобнее для возведения в степень, $14 \equiv -1 \pmod{5}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:
$a \equiv 2 \cdot 2^{25} + 3 \cdot (-1)^9 \pmod{5}$.

Упростим полученное выражение. Первое слагаемое: $2 \cdot 2^{25} = 2^{26}$. Второе слагаемое: так как степень $9$ нечетная, $(-1)^9 = -1$, поэтому $3 \cdot (-1)^9 = -3$. Таким образом:
$a \equiv 2^{26} - 3 \pmod{5}$.

Теперь найдем $2^{26} \pmod{5}$. Воспользуемся малой теоремой Ферма, согласно которой для простого числа $p$ и целого числа $k$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $k^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. Для $p=5$ и $k=2$ имеем $2^{5-1} = 2^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
Представим показатель степени $26$ как $26 = 4 \cdot 6 + 2$. Тогда:
$2^{26} = 2^{4 \cdot 6 + 2} = (2^4)^6 \cdot 2^2$.
Отсюда, $2^{26} \equiv 1^6 \cdot 2^2 \pmod{5}$, то есть $2^{26} \equiv 4 \pmod{5}$.

Подставим найденное значение в сравнение для $a$:
$a \equiv 4 - 3 \pmod{5}$,
$a \equiv 1 \pmod{5}$.

Ответ: 1

280. Найти натуральное число $m \neq 1$, если натуральные числа $8n+3$ и $7n+1$ делятся на $m$.

По условию задачи, натуральные числа $8n+3$ и $7n+1$ делятся на натуральное число $m \neq 1$. Это означает, что $m$ является их общим делителем.

Известно, что если число $m$ является делителем двух чисел $A$ и $B$, то оно также является делителем их любой целочисленной линейной комбинации вида $kA + lB$, где $k$ и $l$ — целые числа.

Возьмем $A = 8n+3$ и $B = 7n+1$. Подберем коэффициенты $k$ и $l$ таким образом, чтобы в выражении $k(8n+3) + l(7n+1)$ сократилась переменная $n$. Для этого умножим первое выражение на 7, а второе — на 8, и найдем их разность. Это соответствует выбору $k=7$ и $l=-8$.

Тогда выражение $7(8n+3) - 8(7n+1)$ также должно делиться на $m$. Вычислим значение этого выражения: $7(8n+3) - 8(7n+1) = (56n + 21) - (56n + 8) = 56n + 21 - 56n - 8 = 13$.

Следовательно, число 13 должно делиться на $m$. Это означает, что $m$ является делителем числа 13.

Поскольку 13 — простое число, его натуральными делителями являются только 1 и 13.

По условию задачи $m$ — натуральное число и $m \neq 1$. Отсюда следует, что единственно возможное значение для $m$ — это 13.

Чтобы убедиться, что такое $m$ возможно, нужно проверить, существует ли хотя бы одно натуральное число $n$, при котором оба исходных выражения делятся на 13. Проверим, например, $n=11$: $8n+3 = 8 \cdot 11 + 3 = 88 + 3 = 91$. Так как $91 = 13 \cdot 7$, то 91 делится на 13. $7n+1 = 7 \cdot 11 + 1 = 77 + 1 = 78$. Так как $78 = 13 \cdot 6$, то 78 делится на 13. Поскольку такое натуральное число $n$ существует, то значение $m=13$ является решением задачи.

Ответ: 13