Номер 276, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

276. Найти целочисленные решения уравнения:

1) $3x + 4y = 18;$

2) $9x - 7y = 4.$

1) Решим в целых числах уравнение $3x + 4y = 18$.

Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$. Решение в целых числах существует, если наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$ делит свободный член $c$. В нашем случае $a=3, b=4, c=18$. НОД(3, 4) = 1, и 1 делит 18, следовательно, целочисленные решения существуют.

Для нахождения решений выразим одну из переменных через другую. Выразим $x$:

$3x = 18 - 4y$

$x = \frac{18 - 4y}{3} = 6 - \frac{4y}{3}$

Чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы $\frac{4y}{3}$ было целым. Так как 4 и 3 — взаимно простые числа, $y$ должен быть кратен 3. Пусть $y = 3k$, где $k$ — произвольное целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Подставим это в выражение для $x$:

$x = 6 - \frac{4(3k)}{3} = 6 - 4k$

Таким образом, общее решение уравнения в целых числах задается формулами:

$x = 6 - 4k, \quad y = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка: $3(6 - 4k) + 4(3k) = 18 - 12k + 12k = 18$. Равенство $18=18$ верно для любого $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 6 - 4k, y = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим в целых числах уравнение $9x - 7y = 4$.

Это линейное диофантово уравнение. НОД(9, 7) = 1. Так как 1 делит 4, уравнение имеет целочисленные решения.

Выразим $y$ через $x$:

$7y = 9x - 4$

$y = \frac{9x - 4}{7}$

Чтобы найти условие целочисленности для $y$, выделим в числителе слагаемое, кратное 7. Для этого представим $9x$ как $7x + 2x$:

$y = \frac{7x + 2x - 4}{7} = \frac{7x}{7} + \frac{2x - 4}{7} = x + \frac{2(x - 2)}{7}$

Для того чтобы $y$ был целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{2(x - 2)}{7}$ была целой. Так как 2 и 7 взаимно просты, выражение $x - 2$ должно делиться на 7. Пусть $x - 2 = 7k$, где $k$ — произвольное целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Из этого равенства находим $x$:

$x = 2 + 7k$

Теперь подставим $x = 2 + 7k$ в выражение $y = x + \frac{2(x - 2)}{7}$. Зная, что $x-2 = 7k$, получаем:

$y = (2 + 7k) + \frac{2(7k)}{7} = 2 + 7k + 2k = 2 + 9k$

Таким образом, общее решение уравнения в целых числах:

$x = 2 + 7k, \quad y = 2 + 9k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка: $9(2 + 7k) - 7(2 + 9k) = 18 + 63k - 14 - 63k = 4$. Равенство $4=4$ верно для любого $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2 + 7k, y = 2 + 9k$, где $k \in \mathbb{Z}$.