Номер 269, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

269. Доказать, что число $a$ делится на $m$, если:

1) $a = 25^{10} + 7 \cdot 5^{18}$, $m = 32$;

2) $a = 10^{15} + 10^{20} - 92$, $m = 18$;

3) $a = 86^7 - 12^5 - 38^6$, $m = 10$.

Для доказательства делимости воспользуемся свойствами степеней и признаками делимости. Основная стратегия — выделить множитель $m$ или использовать свойства сравнений по модулю.

1) $a = 25^{10} + 7 \cdot 5^{18}, m = 32$

Приведем выражение к общему основанию 5:

$25^{10} = (5^2)^{10} = 5^{20}$

$a = 5^{20} + 7 \cdot 5^{18}$

Вынесем общий множитель $5^{18}$ за скобки:

$a = 5^{18}(5^2 + 7) = 5^{18}(25 + 7) = 5^{18} \cdot 32$

Так как один из множителей равен 32, всё произведение делится на 32. Доказано.

2) $a = 10^{15} + 10^{20} - 92, m = 18$

Чтобы число делилось на 18, оно должно быть четным и делиться на 9 ($18 = 2 \cdot 9$):

• Четность: $10^{15}$ и $10^{20}$ — четные, 92 — четное. Разность и сумма четных чисел есть число четное. Делится на 2.
• Делимость на 9: Число $10^n$ при делении на 9 всегда дает в остатке 1 (так как $10-1=9$, $100-1=99$ и т.д.).
  Остаток от $10^{15}$ равен 1.
  Остаток от $10^{20}$ равен 1.
  Остаток от $92$ равен 2 (так как $9+2=11$ или по сумме цифр $9+2=11 \to 1+1=2$).
  Итоговый остаток: $1 + 1 - 2 = 0$.

Число делится на 2 и на 9, следовательно, оно делится на 18. Доказано.

3) $a = 86^7 - 12^5 - 38^6, m = 10$

Число делится на 10, если его последняя цифра — 0. Найдем последнюю цифру каждого слагаемого:

• $86^7$: любая степень числа, оканчивающегося на 6, оканчивается на 6.
• $12^5$: степени двойки цикличны (2, 4, 8, 6). $12^1 \to 2, 12^2 \to 4, 12^3 \to 8, 12^4 \to 6, 12^5 \to \mathbf{2}$.
• $38^6$: степени восьмерки цикличны (8, 4, 2, 6). $38^1 \to 8, 38^2 \to 4, 38^3 \to 2, 38^4 \to 6, 38^5 \to 8, 38^6 \to \mathbf{4}$.

Вычислим последнюю цифру результата: $6 - 2 - 4 = 0$.
Так как последняя цифра числа равна 0, оно делится на 10. Доказано.