Номер 262, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

262. Доказать, что число:

1) $28 \cdot 20^{15} - 10 \cdot 18^{13}$ делится на 19;

2) $3^3 \cdot 23^8 + 5^8 \cdot 2^{14}$ делится на 13;

3) $125^{24} - 1825$ делится на 600;

4) $100^{20} - 50 \cdot 16^5$ делится на 49;

5) $42^{365} + 53^{241}$ делится на 5;

6) $71^{325} + 41^{135}$ делится на 7.

1) Доказать, что число $28 \cdot 20^{15} - 10 \cdot 18^{13}$ делится на 19;

Для доказательства воспользуемся арифметикой по модулю 19. Это значит, что мы будем рассматривать остатки от деления чисел на 19. Два числа считаются сравнимыми по модулю $n$, если у них одинаковые остатки при делении на $n$.

Найдем, с какими числами сравнимы компоненты выражения по модулю 19:

• $28 = 1 \cdot 19 + 9 \implies 28 \equiv 9 \pmod{19}$
• $20 = 1 \cdot 19 + 1 \implies 20 \equiv 1 \pmod{19}$
• $10 < 19 \implies 10 \equiv 10 \pmod{19}$
• $18 = 0 \cdot 19 + 18 \implies 18 \equiv 18 \pmod{19}$, или удобнее $18 \equiv -1 \pmod{19}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$28 \cdot 20^{15} - 10 \cdot 18^{13} \equiv 9 \cdot 1^{15} - 10 \cdot (-1)^{13} \pmod{19}$

Так как $1$ в любой степени равен $1$, а $(-1)$ в нечетной степени (13) равен $-1$, получаем:

$9 \cdot 1 - 10 \cdot (-1) = 9 + 10 = 19$

Поскольку $19$ делится на $19$, остаток равен 0:

$19 \equiv 0 \pmod{19}$

Таким образом, исходное число делится на 19.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что число $3^3 \cdot 23^8 + 5^8 \cdot 2^{14}$ делится на 13;

Для доказательства воспользуемся сравнениями по модулю 13. Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое: $3^3 \cdot 23^8$.

• $3^3 = 27 = 2 \cdot 13 + 1 \implies 3^3 \equiv 1 \pmod{13}$
• $23 = 1 \cdot 13 + 10 \implies 23 \equiv 10 \pmod{13}$, или $23 \equiv -3 \pmod{13}$

Тогда $23^8 \equiv (-3)^8 = 3^8 \pmod{13}$. Найдем значение $3^8 \pmod{13}$:

$3^2 = 9 \pmod{13}$

$3^3 = 27 \equiv 1 \pmod{13}$

$3^8 = 3^{3 \cdot 2 + 2} = (3^3)^2 \cdot 3^2 \equiv 1^2 \cdot 9 = 9 \pmod{13}$

Значит, первое слагаемое $3^3 \cdot 23^8 \equiv 1 \cdot 9 = 9 \pmod{13}$.

Второе слагаемое: $5^8 \cdot 2^{14}$.

• $5^2 = 25 = 1 \cdot 13 + 12 \implies 5^2 \equiv 12 \equiv -1 \pmod{13}$. Тогда $5^8 = (5^2)^4 \equiv (-1)^4 = 1 \pmod{13}$.
• Согласно малой теореме Ферма, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ для простого $p$ и целого $a$, не делящегося на $p$. Для $p=13$ имеем $2^{12} \equiv 1 \pmod{13}$. Тогда $2^{14} = 2^{12} \cdot 2^2 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod{13}$.

Значит, второе слагаемое $5^8 \cdot 2^{14} \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod{13}$.

Теперь сложим результаты:

$3^3 \cdot 23^8 + 5^8 \cdot 2^{14} \equiv 9 + 4 = 13 \equiv 0 \pmod{13}$

Следовательно, число делится на 13.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что число $125^{24} - 1825$ делится на 600;

Чтобы доказать, что число делится на 600, докажем, что оно делится на взаимно простые множители, произведение которых равно 600. Разложим 600 на множители: $600 = 6 \cdot 100 = 2 \cdot 3 \cdot 10^2 = 2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 3 \cdot 25$. Нам нужно доказать делимость на 8, 3 и 25.

1. Делимость на 25:
   $125 = 5 \cdot 25$, поэтому $125$ делится на 25, а значит и $125^{24}$ делится на 25.
   $1825 = 1800 + 25 = 18 \cdot 100 + 25$. Так как 100 делится на 25, то 1825 также делится на 25.
   Разность двух чисел, делящихся на 25, делится на 25.
2. Делимость на 3:
   По признаку делимости на 3, число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 3.
   $125 \to 1+2+5 = 8 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$. Тогда $125^{24} \equiv (-1)^{24} = 1 \pmod{3}$.
   $1825 \to 1+8+2+5 = 16 \equiv 1 \pmod{3}$.
   Следовательно, $125^{24} - 1825 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{3}$. Число делится на 3.
3. Делимость на 8:
   $125 = 15 \cdot 8 + 5 \equiv 5 \pmod{8}$.
   $125^2 \equiv 5^2 = 25 = 3 \cdot 8 + 1 \equiv 1 \pmod{8}$.
   $125^{24} = (125^2)^{12} \equiv 1^{12} = 1 \pmod{8}$.
   $1825 = 1824 + 1 = 228 \cdot 8 + 1 \equiv 1 \pmod{8}$.
   Следовательно, $125^{24} - 1825 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{8}$. Число делится на 8.

Поскольку число делится на 8, 3 и 25, оно делится и на их произведение $8 \cdot 3 \cdot 25 = 600$.

Ответ: Доказано.

4) Доказать, что число $100^{20} - 50 \cdot 16^5$ делится на 49;

Докажем это утверждение, используя сравнения по модулю 49.

Найдем остатки от деления на 49 для чисел в выражении:

• $100 = 2 \cdot 49 + 2 \implies 100 \equiv 2 \pmod{49}$
• $50 = 1 \cdot 49 + 1 \implies 50 \equiv 1 \pmod{49}$

Подставим эти значения в выражение:

$100^{20} - 50 \cdot 16^5 \equiv 2^{20} - 1 \cdot 16^5 \pmod{49}$

Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$. Тогда:

$16^5 = (2^4)^5 = 2^{4 \cdot 5} = 2^{20}$

Теперь наше выражение принимает вид:

$2^{20} - 2^{20} = 0 \pmod{49}$

Это означает, что исходное число делится на 49 без остатка.

Ответ: Доказано.

5) Доказать, что число $42^{365} + 53^{241}$ делится на 5;

Чтобы доказать делимость на 5, достаточно рассмотреть остатки от деления на 5 (то есть последние цифры чисел).

$42$ оканчивается на 2, значит $42 \equiv 2 \pmod{5}$.

$53$ оканчивается на 3, значит $53 \equiv 3 \pmod{5}$.

Выражение $42^{365} + 53^{241}$ сравнимо с $2^{365} + 3^{241} \pmod{5}$.

Найдем, чему равны степени по модулю 5. Степени любого числа (кроме кратных 5) по модулю 5 повторяются с циклом длиной 4 ($a^4 \equiv 1 \pmod{5}$ по малой теореме Ферма).

Для первого слагаемого: $2^{365}$. Найдем остаток от деления показателя 365 на 4:

$365 = 364 + 1 = 4 \cdot 91 + 1 \implies 365 \equiv 1 \pmod{4}$.

Значит, $2^{365} \equiv 2^1 = 2 \pmod{5}$.

Для второго слагаемого: $3^{241}$. Найдем остаток от деления показателя 241 на 4:

$241 = 240 + 1 = 4 \cdot 60 + 1 \implies 241 \equiv 1 \pmod{4}$.

Значит, $3^{241} \equiv 3^1 = 3 \pmod{5}$.

Теперь сложим результаты:

$2^{365} + 3^{241} \equiv 2 + 3 = 5 \equiv 0 \pmod{5}$

Число делится на 5.

Ответ: Доказано.

6) Доказать, что число $71^{325} + 41^{135}$ делится на 7.

Докажем утверждение, используя сравнения по модулю 7.

Найдем остатки от деления на 7 для оснований степеней:

• $71 = 10 \cdot 7 + 1 \implies 71 \equiv 1 \pmod{7}$
• $41 = 5 \cdot 7 + 6 \implies 41 \equiv 6 \pmod{7}$, или $41 \equiv -1 \pmod{7}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$71^{325} + 41^{135} \equiv 1^{325} + (-1)^{135} \pmod{7}$

Любая степень 1 равна 1. Показатель 135 — нечетное число, поэтому $(-1)^{135} = -1$.

Получаем:

$1 + (-1) = 1 - 1 = 0 \pmod{7}$

Следовательно, исходное число делится на 7.

Ответ: Доказано.