Номер 259, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

259. Доказать, что:

1) число $6^{12} - 1$ делится на 37;

2) число $2^{48} - 1$ делится на 65;

3) число $3^{17} - 3$ делится на 240;

4) число $10^{12} + 263$ делится на 11;

5) число $10^{24} - 298$ делится на 99.

1) Чтобы доказать, что число $6^{12} - 1$ делится на 37, преобразуем данное выражение. Представим его в следующем виде: $6^{12} - 1 = (6^2)^6 - 1^6 = 36^6 - 1^6$. Воспользуемся свойством делимости разности степеней: выражение $a^n - b^n$ делится на $a+b$, если показатель степени $n$ является четным числом. В нашем случае $a=36$, $b=1$, а показатель $n=6$ является четным. Следовательно, выражение $36^6 - 1^6$ делится на $36+1=37$. Таким образом, мы доказали, что $6^{12} - 1$ делится на 37.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что число $2^{48} - 1$ делится на 65, разложим выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $2^{48} - 1 = (2^{24})^2 - 1^2 = (2^{24} - 1)(2^{24} + 1)$. Продолжим разложение первого множителя: $(2^{12} - 1)(2^{12} + 1)(2^{24} + 1) = (2^6 - 1)(2^6 + 1)(2^{12} + 1)(2^{24} + 1)$. Теперь вычислим значения первых двух множителей: $2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$. $2^6 + 1 = 64 + 1 = 65$. Таким образом, исходное выражение можно записать в виде: $2^{48} - 1 = 63 \cdot 65 \cdot (2^{12} + 1)(2^{24} + 1)$. Поскольку один из множителей равен 65, все произведение делится на 65.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что число $3^{17} - 3$ делится на 240, сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(3^{16} - 1)$. Разложим число 240 на простые множители: $240 = 24 \cdot 10 = (8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 16 \cdot 3 \cdot 5$. Нам нужно доказать, что $3(3^{16} - 1)$ делится на 16, 3 и 5. Делимость на 3 очевидна из-за множителя 3 перед скобкой. Теперь докажем делимость $3^{16} - 1$ на 16 и 5. Разложим выражение в скобках на множители: $3^{16} - 1 = (3^8 - 1)(3^8 + 1) = (3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)$. $3^4 - 1 = 81 - 1 = 80$. Выражение принимает вид: $80 \cdot (3^4 + 1)(3^8 + 1)$. Число 80 делится и на 16 (так как $80 = 16 \cdot 5$), и на 5. Следовательно, $3^{16}-1$ делится на $16 \cdot 5 = 80$. Таким образом, исходное число $3(3^{16} - 1)$ делится на $3 \cdot 80 = 240$.
Ответ: что и требовалось доказать.

4) Чтобы доказать, что число $10^{12} + 263$ делится на 11, воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Нам нужно показать, что $10^{12} + 263 \equiv 0 \pmod{11}$. Найдем остаток от деления 10 на 11: $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Тогда $10^{12} \equiv (-1)^{12} \pmod{11}$. Поскольку 12 — четное число, $(-1)^{12} = 1$. Таким образом, $10^{12} \equiv 1 \pmod{11}$. Теперь найдем остаток от деления 263 на 11: $263 = 11 \cdot 23 + 10$. Значит, $263 \equiv 10 \pmod{11}$. Также можно записать, что $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Теперь сложим остатки: $10^{12} + 263 \equiv 1 + 10 \pmod{11} \equiv 11 \pmod{11} \equiv 0 \pmod{11}$. Поскольку остаток от деления равен 0, число $10^{12} + 263$ делится на 11.
Ответ: что и требовалось доказать.

5) Чтобы доказать, что число $10^{24} - 298$ делится на 99, представим это выражение в другом виде. $10^{24} - 298 = (10^{24} - 1) - 297$. Докажем, что и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на 99. Рассмотрим число $10^{24} - 1$. Его можно записать как $(10^2)^{12} - 1 = 100^{12} - 1$. Используем сравнения по модулю 99: $100 \equiv 1 \pmod{99}$. Тогда $100^{12} \equiv 1^{12} \pmod{99}$, то есть $100^{12} \equiv 1 \pmod{99}$. Следовательно, $100^{12} - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{99} \equiv 0 \pmod{99}$. Это означает, что $10^{24} - 1$ делится на 99. Теперь рассмотрим число 297. Разделим его на 99: $297 \div 99 = 3$. Значит, 297 также делится на 99. Поскольку и $10^{24} - 1$, и 297 делятся на 99, их разность $(10^{24} - 1) - 297$ также делится на 99.
Ответ: что и требовалось доказать.