Номер 260, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

260. Доказать, что число:

1) $91^{40} - 55^{35}$ делится на 18;

2) $84^{20} + 101^{19}$ делится на 17;

3) $(75 \cdot 39)^{10} + (94 \cdot 58)^{15}$ делится на 19;

4) $10^{327} + 56$ делится на 11;

5) $4^{15} + 233$ делится на 3.

1) Для того чтобы доказать, что число $91^{40} - 55^{35}$ делится на 18, воспользуемся свойствами сравнений по модулю 18.

Найдем остаток от деления 91 на 18:

$91 = 5 \cdot 18 + 1 \implies 91 \equiv 1 \pmod{18}$.

Тогда $91^{40} \equiv 1^{40} \equiv 1 \pmod{18}$.

Теперь найдем остаток от деления 55 на 18:

$55 = 3 \cdot 18 + 1 \implies 55 \equiv 1 \pmod{18}$.

Тогда $55^{35} \equiv 1^{35} \equiv 1 \pmod{18}$.

Теперь найдем остаток от деления всего выражения:

$91^{40} - 55^{35} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{18}$.

Так как остаток от деления выражения на 18 равен 0, это означает, что число $91^{40} - 55^{35}$ делится на 18 нацело, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Для доказательства того, что число $84^{20} + 101^{19}$ делится на 17, используем сравнения по модулю 17.

Найдем остаток от деления 84 на 17:

$84 = 5 \cdot 17 - 1 = 85 - 1 \implies 84 \equiv -1 \pmod{17}$.

Тогда $84^{20} \equiv (-1)^{20} \equiv 1 \pmod{17}$, так как показатель степени 20 является четным числом.

Теперь найдем остаток от деления 101 на 17:

$101 = 6 \cdot 17 - 1 = 102 - 1 \implies 101 \equiv -1 \pmod{17}$.

Тогда $101^{19} \equiv (-1)^{19} \equiv -1 \pmod{17}$, так как показатель степени 19 является нечетным числом.

Сложим полученные сравнения:

$84^{20} + 101^{19} \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{17}$.

Полученный остаток от деления на 17 равен 0, что и доказывает делимость исходного числа на 17.

Ответ: Доказано.

3) Докажем, что число $(75 \cdot 39)^{10} + (94 \cdot 58)^{15}$ делится на 19, используя сравнения по модулю 19.

Рассмотрим первое слагаемое $(75 \cdot 39)^{10}$. Найдем остатки от деления множителей на 19:

$75 = 4 \cdot 19 - 1 = 76 - 1 \implies 75 \equiv -1 \pmod{19}$.

$39 = 2 \cdot 19 + 1 = 38 + 1 \implies 39 \equiv 1 \pmod{19}$.

Тогда произведение $75 \cdot 39 \equiv (-1) \cdot 1 \equiv -1 \pmod{19}$.

Возведем в степень 10: $(75 \cdot 39)^{10} \equiv (-1)^{10} \equiv 1 \pmod{19}$.

Рассмотрим второе слагаемое $(94 \cdot 58)^{15}$. Найдем остатки от деления множителей на 19:

$94 = 5 \cdot 19 - 1 = 95 - 1 \implies 94 \equiv -1 \pmod{19}$.

$58 = 3 \cdot 19 + 1 = 57 + 1 \implies 58 \equiv 1 \pmod{19}$.

Тогда произведение $94 \cdot 58 \equiv (-1) \cdot 1 \equiv -1 \pmod{19}$.

Возведем в степень 15: $(94 \cdot 58)^{15} \equiv (-1)^{15} \equiv -1 \pmod{19}$.

Сложим результаты для обоих слагаемых:

$(75 \cdot 39)^{10} + (94 \cdot 58)^{15} \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{19}$.

Остаток от деления выражения на 19 равен 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

4) Докажем, что число $10^{327} + 56$ делится на 11, используя сравнения по модулю 11.

Найдем остаток от деления 10 на 11:

$10 \equiv -1 \pmod{11}$.

Возведем в степень 327. Так как 327 — нечетное число, получаем:

$10^{327} \equiv (-1)^{327} \equiv -1 \pmod{11}$.

Теперь найдем остаток от деления 56 на 11:

$56 = 5 \cdot 11 + 1 \implies 56 \equiv 1 \pmod{11}$.

Сложим полученные сравнения:

$10^{327} + 56 \equiv -1 + 1 \equiv 0 \pmod{11}$.

Остаток от деления выражения на 11 равен 0, следовательно, число делится на 11, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

5) Докажем, что число $4^{15} + 233$ делится на 3, используя сравнения по модулю 3.

Найдем остаток от деления 4 на 3:

$4 = 1 \cdot 3 + 1 \implies 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Тогда любая натуральная степень числа 4 будет сравнима с 1 по модулю 3:

$4^{15} \equiv 1^{15} \equiv 1 \pmod{3}$.

Теперь найдем остаток от деления 233 на 3. Воспользуемся признаком делимости на 3: сумма цифр числа 233 равна $2 + 3 + 3 = 8$.

Найдем остаток от деления 8 на 3: $8 = 2 \cdot 3 + 2 \implies 8 \equiv 2 \pmod{3}$.

Следовательно, $233 \equiv 2 \pmod{3}$.

Сложим полученные сравнения:

$4^{15} + 233 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$.

Остаток от деления выражения на 3 равен 0, что и доказывает делимость.

Ответ: Доказано.