Номер 266, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

266. 1) $3xy + 10x - 13y - 35 = 0;$

2) $3xy + 19x + 10y + 55 = 0;$

3) $x^3 - 6x^2 - xy + 13x + 3y + 7 = 0;$

4) $x^3 - xy - 7x + 2y + 23 = 0.$

1) Данное уравнение $3xy + 10x - 13y - 35 = 0$ является диофантовым уравнением. Для его решения в целых числах применим метод разложения на множители.Сгруппируем слагаемые:$x(3y + 10) - 13y - 35 = 0$Чтобы выделить множитель $(3y + 10)$, преобразуем оставшуюся часть уравнения:$x(3y + 10) - \frac{13}{3}(3y) - 35 = 0$Добавим и вычтем $\frac{13}{3} \cdot 10 = \frac{130}{3}$:$x(3y + 10) - \frac{13}{3}(3y + 10) + \frac{130}{3} - 35 = 0$Сгруппируем множители:$(x - \frac{13}{3})(3y + 10) = 35 - \frac{130}{3}$$(x - \frac{13}{3})(3y + 10) = \frac{105 - 130}{3} = -\frac{25}{3}$Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:$(3x - 13)(3y + 10) = -25$Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(3x - 13)$ и $(3y + 10)$ должны быть целыми делителями числа -25. Делители числа -25: $\pm1, \pm5, \pm25$.Кроме того, для целочисленности $x$ выражение $3x - 13$ должно давать остаток $-13 \pmod 3$, то есть $2 \pmod 3$. Для целочисленности $y$ выражение $3y + 10$ должно давать остаток $10 \pmod 3$, то есть $1 \pmod 3$.Рассмотрим все возможные пары делителей $(a, b)$, где $a \cdot b = -25$:

• Если $3x - 13 = -1$, то $-1 \equiv 2 \pmod 3$. Это возможно. Тогда $3y + 10 = 25$. $25 \equiv 1 \pmod 3$, это также возможно. $3x = 12 \implies x = 4$. $3y = 15 \implies y = 5$. Получаем решение $(4, 5)$.
• Если $3x - 13 = 1$, то $1 \not\equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
• Если $3x - 13 = 5$, то $5 \equiv 2 \pmod 3$. Это возможно. Тогда $3y + 10 = -5$. $-5 \equiv 1 \pmod 3$, это также возможно. $3x = 18 \implies x = 6$. $3y = -15 \implies y = -5$. Получаем решение $(6, -5)$.
• Если $3x - 13 = -5$, то $-5 \not\equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
• Если $3x - 13 = -25$, то $-25 \equiv 2 \pmod 3$. Это возможно. Тогда $3y + 10 = 1$. $1 \equiv 1 \pmod 3$, это также возможно. $3x = -12 \implies x = -4$. $3y = -9 \implies y = -3$. Получаем решение $(-4, -3)$.
• Если $3x - 13 = 25$, то $25 \not\equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.

Ответ: $(4, 5), (6, -5), (-4, -3)$.

2) Решим уравнение $3xy + 19x + 10y + 55 = 0$ аналогично предыдущему.Разложим на множители:$x(3y + 19) + 10y + 55 = 0$$x(3y + 19) + \frac{10}{3}(3y + 19) - \frac{190}{3} + 55 = 0$$(x + \frac{10}{3})(3y + 19) = \frac{190}{3} - 55 = \frac{190 - 165}{3} = \frac{25}{3}$Умножим на 3:$(3x + 10)(3y + 19) = 25$Множители $(3x + 10)$ и $(3y + 19)$ должны быть целыми делителями числа 25: $\pm1, \pm5, \pm25$.Условия для целочисленных решений:$3x + 10 = a \implies 3x = a - 10 \implies a \equiv 10 \pmod 3 \implies a \equiv 1 \pmod 3$.$3y + 19 = b \implies 3y = b - 19 \implies b \equiv 19 \pmod 3 \implies b \equiv 1 \pmod 3$.Проверим пары делителей $(a, b)$, где $a \cdot b = 25$:

• Если $3x + 10 = 1$, то $1 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. Тогда $3y + 19 = 25$. $25 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. $3x = -9 \implies x = -3$. $3y = 6 \implies y = 2$. Решение: $(-3, 2)$.
• Если $3x + 10 = 5$, то $5 \not\equiv 1 \pmod 3$. Не подходит.
• Если $3x + 10 = 25$, то $25 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. Тогда $3y + 19 = 1$. $1 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. $3x = 15 \implies x = 5$. $3y = -18 \implies y = -6$. Решение: $(5, -6)$.
• Если $3x + 10 = -5$, то $-5 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. Тогда $3y + 19 = -5$. $-5 \equiv 1 \pmod 3$. Возможно. $3x = -15 \implies x = -5$. $3y = -24 \implies y = -8$. Решение: $(-5, -8)$.
• Остальные делители $-1, -25$ для $3x+10$ не удовлетворяют условию $a \equiv 1 \pmod 3$.

Ответ: $(-3, 2), (5, -6), (-5, -8)$.

3) В уравнении $x^3 - 6x^2 - xy + 13x + 3y + 7 = 0$ выразим $y$ через $x$.$x^3 - 6x^2 + 13x + 7 = xy - 3y$$y(x - 3) = x^3 - 6x^2 + 13x + 7$Если $x=3$, то левая часть равна $19$, а правая $0$. Значит $x \neq 3$.$y = \frac{x^3 - 6x^2 + 13x + 7}{x-3}$Выполним деление многочлена на двучлен, чтобы выделить целую часть:$y = x^2 - 3x + 4 + \frac{19}{x-3}$Для того чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{19}{x-3}$ была целым числом. Это значит, что $(x-3)$ должен быть делителем числа 19.Число 19 простое, его делители: $1, -1, 19, -19$.Рассмотрим все 4 случая:

1. $x - 3 = 1 \implies x = 4$. Тогда $y = 4^2 - 3(4) + 4 + 19 = 16 - 12 + 4 + 19 = 27$. Решение: $(4, 27)$.
2. $x - 3 = -1 \implies x = 2$. Тогда $y = 2^2 - 3(2) + 4 - 19 = 4 - 6 + 4 - 19 = -17$. Решение: $(2, -17)$.
3. $x - 3 = 19 \implies x = 22$. Тогда $y = 22^2 - 3(22) + 4 + 1 = 484 - 66 + 5 = 423$. Решение: $(22, 423)$.
4. $x - 3 = -19 \implies x = -16$. Тогда $y = (-16)^2 - 3(-16) + 4 - 1 = 256 + 48 + 3 = 307$. Решение: $(-16, 307)$.

Ответ: $(4, 27), (2, -17), (22, 423), (-16, 307)$.

4) В уравнении $x^3 - xy - 7x + 2y + 23 = 0$ выразим $y$ через $x$.$x^3 - 7x + 23 = xy - 2y$$y(x - 2) = x^3 - 7x + 23$Если $x=2$, то левая часть равна $17$, а правая $0$. Значит $x \neq 2$.$y = \frac{x^3 - 7x + 23}{x-2}$Выделим целую часть делением многочлена:$y = x^2 + 2x - 3 + \frac{17}{x-2}$Для целочисленности $y$ выражение $(x-2)$ должно быть делителем числа 17.Число 17 простое, его делители: $1, -1, 17, -17$.Рассмотрим все 4 случая:

1. $x - 2 = 1 \implies x = 3$. Тогда $y = 3^2 + 2(3) - 3 + 17 = 9 + 6 - 3 + 17 = 29$. Решение: $(3, 29)$.
2. $x - 2 = -1 \implies x = 1$. Тогда $y = 1^2 + 2(1) - 3 - 17 = 1 + 2 - 3 - 17 = -17$. Решение: $(1, -17)$.
3. $x - 2 = 17 \implies x = 19$. Тогда $y = 19^2 + 2(19) - 3 + 1 = 361 + 38 - 2 = 397$. Решение: $(19, 397)$.
4. $x - 2 = -17 \implies x = -15$. Тогда $y = (-15)^2 + 2(-15) - 3 - 1 = 225 - 30 - 4 = 191$. Решение: $(-15, 191)$.

Ответ: $(3, 29), (1, -17), (19, 397), (-15, 191)$.