Номер 265, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Найти все целочисленные решения уравнения (265–266).

265. 1) $x^2 - y^2 = 21$; 2) $xy = 5 - x$.

1) $x^2 - y^2 = 21$

Данное уравнение является диофантовым уравнением. Для его решения в целых числах разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$(x-y)(x+y) = 21$

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, то выражения $(x-y)$ и $(x+y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 21, следовательно, они являются парой целочисленных делителей числа 21.

Выпишем все пары целых делителей числа 21:

(1, 21); (21, 1); (3, 7); (7, 3); (-1, -21); (-21, -1); (-3, -7); (-7, -3).

Для каждой пары делителей $(a, b)$, где $a = x-y$ и $b = x+y$, составим и решим систему линейных уравнений.

Сложив уравнения $x-y=a$ и $x+y=b$, получим $2x = a+b$, откуда $x = \frac{a+b}{2}$.

Вычтя первое уравнение из второго, получим $2y = b-a$, откуда $y = \frac{b-a}{2}$.

Чтобы $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы $a+b$ и $b-a$ были четными, что выполняется, если $a$ и $b$ имеют одинаковую четность. Все делители числа 21 (1, 3, 7, 21 и их отрицательные значения) — нечетные числа. Значит, любая пара делителей будет состоять из чисел одинаковой (нечетной) четности, и все решения будут целочисленными.

Рассмотрим последовательно все 8 случаев:

1. Система: $x-y=1$, $x+y=21$. Решение: $x=\frac{1+21}{2}=11$, $y=\frac{21-1}{2}=10$. Пара $(11, 10)$.

2. Система: $x-y=21$, $x+y=1$. Решение: $x=\frac{21+1}{2}=11$, $y=\frac{1-21}{2}=-10$. Пара $(11, -10)$.

3. Система: $x-y=3$, $x+y=7$. Решение: $x=\frac{3+7}{2}=5$, $y=\frac{7-3}{2}=2$. Пара $(5, 2)$.

4. Система: $x-y=7$, $x+y=3$. Решение: $x=\frac{7+3}{2}=5$, $y=\frac{3-7}{2}=-2$. Пара $(5, -2)$.

5. Система: $x-y=-1$, $x+y=-21$. Решение: $x=\frac{-1-21}{2}=-11$, $y=\frac{-21-(-1)}{2}=-10$. Пара $(-11, -10)$.

6. Система: $x-y=-21$, $x+y=-1$. Решение: $x=\frac{-21-1}{2}=-11$, $y=\frac{-1-(-21)}{2}=10$. Пара $(-11, 10)$.

7. Система: $x-y=-3$, $x+y=-7$. Решение: $x=\frac{-3-7}{2}=-5$, $y=\frac{-7-(-3)}{2}=-2$. Пара $(-5, -2)$.

8. Система: $x-y=-7$, $x+y=-3$. Решение: $x=\frac{-7-3}{2}=-5$, $y=\frac{-3-(-7)}{2}=2$. Пара $(-5, 2)$.

Ответ: $(11, 10), (11, -10), (5, 2), (5, -2), (-11, -10), (-11, 10), (-5, -2), (-5, 2)$.

2) $xy = 5 - x$

Для нахождения целочисленных решений преобразуем уравнение. Перенесем член с $x$ в левую часть:

$xy + x = 5$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(y+1) = 5$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, то $x$ и $(y+1)$ также являются целыми. Из полученного уравнения следует, что $x$ должен быть целым делителем числа 5.

Найдем все целые делители числа 5. Это 1, -1, 5, -5.

Рассмотрим каждый из четырех возможных случаев для $x$:

1. Если $x = 1$, то $1 \cdot (y+1) = 5$. Отсюда $y+1 = 5$, и $y = 4$. Получаем решение $(1, 4)$.

2. Если $x = -1$, то $(-1) \cdot (y+1) = 5$. Отсюда $y+1 = -5$, и $y = -6$. Получаем решение $(-1, -6)$.

3. Если $x = 5$, то $5 \cdot (y+1) = 5$. Отсюда $y+1 = 1$, и $y = 0$. Получаем решение $(5, 0)$.

4. Если $x = -5$, то $(-5) \cdot (y+1) = 5$. Отсюда $y+1 = -1$, и $y = -2$. Получаем решение $(-5, -2)$.

Мы рассмотрели все возможные целочисленные значения для $x$, поэтому других решений нет.

Ответ: $(1, 4), (-1, -6), (5, 0), (-5, -2)$.