Номер 263, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

263. 1) Доказать, что уравнение $15x + 40y = 17$ не имеет целочисленных решений.

2) Найти все целочисленные решения уравнения $4x - 3y = 11$.

1)

Рассмотрим уравнение $15x + 40y = 17$. Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$, где $a = 15$, $b = 40$ и $c = 17$.

Такое уравнение имеет целочисленные решения тогда и только тогда, когда его правая часть $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$.

Найдем НОД для чисел $15$ и $40$. Разложим их на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$40 = 2^3 \cdot 5$

Общим множителем является $5$, следовательно, НОД(15, 40) = 5.

Теперь необходимо проверить, делится ли правая часть уравнения, число $17$, на НОД(15, 40) = 5. Так как $17$ не делится на $5$ без остатка, то условие разрешимости в целых числах не выполняется.

Можно прийти к этому же выводу и другим путем. Преобразуем левую часть уравнения, вынеся общий множитель $5$ за скобки:

$5(3x + 8y) = 17$

Поскольку по условию $x$ и $y$ — целые числа, то и выражение в скобках $(3x + 8y)$ также является целым числом. Это означает, что вся левая часть уравнения $5(3x + 8y)$ должна быть кратна $5$. Однако правая часть уравнения равна $17$. Число $17$ не кратно $5$. Возникает противоречие, из которого следует, что не существует таких целых чисел $x$ и $y$, при которых данное равенство было бы верным.

Ответ: Уравнение $15x + 40y = 17$ не имеет целочисленных решений, так как его левая часть при любых целых $x$ и $y$ делится на 5, а правая часть (17) на 5 не делится.

2)

Требуется найти все целочисленные решения уравнения $4x - 3y = 11$.

Это линейное диофантово уравнение с коэффициентами $a=4$, $b=-3$ и $c=11$.

В первую очередь проверим, существуют ли у него целочисленные решения. Для этого найдем НОД(a, b):

НОД(4, -3) = НОД(4, 3) = 1.

Поскольку правая часть уравнения $c=11$ делится на НОД(4, -3) = 1, уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений.

Далее найдем одно частное решение $(x_0, y_0)$. Это можно сделать методом подбора. Выразим $x$ через $y$:

$4x = 11 + 3y \implies x = \frac{11 + 3y}{4}$

Чтобы $x$ был целым числом, числитель $(11 + 3y)$ должен быть кратен $4$. Начнем подставлять небольшие целые значения $y$.

При $y = 1$, $11 + 3(1) = 14$ (не делится на 4).

При $y = -1$, $11 + 3(-1) = 11 - 3 = 8$. $8$ делится на $4$, значит $x = \frac{8}{4} = 2$.

Таким образом, мы нашли частное решение: $(x_0, y_0) = (2, -1)$.

Проверка: $4(2) - 3(-1) = 8 + 3 = 11$. Равенство верно.

Теперь запишем формулы для общего решения. Для уравнения $ax+by=c$ с частным решением $(x_0, y_0)$ и $d = \text{НОД}(a,b)$, общее решение имеет вид:

$x = x_0 + \frac{b}{d} t$

$y = y_0 - \frac{a}{d} t$

где $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Подставим наши значения: $a=4$, $b=-3$, $d=1$, $x_0=2$, $y_0=-1$.

$x = 2 + \frac{-3}{1}t = 2 - 3t$

$y = -1 - \frac{4}{1}t = -1 - 4t$

Чтобы коэффициенты при параметре $t$ были положительными, можно произвести замену $t = -k$, где $k$ также любое целое число:

$x = 2 - 3(-k) = 2 + 3k$

$y = -1 - 4(-k) = -1 + 4k$

Ответ: $x = 2 + 3t, y = -1 + 4t$, где $t \in \mathbb{Z}$.